LeetCode 第 322 题：零钱兑换（动态规划）

地址：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/

注意两件事情：

1、dp 的值有上限，因为都是整数，因此是 amount + 1；
2、从可以转移的地方开始计算即可；
3、和完全背包问题产生联系。

方法一：动态规划

使用最基本的“动态规划”的思路。

第 1 步：状态定义

dp[i] 表示凑成金额为 i 的最少硬币数。

第 2 步：状态转移方程

根据题目示例 1：coins = [1, 2, 5]，amount = 11。很容易想到：

总金额 11 ，根据可以选择的硬币列表 [1, 2, 5] 可以这样拆解：

• 11 = 1 + (11 - 1)：表示 11 可以拆成面值为 1 的 1 个硬币和凑成面值为 10 的最小硬币数之和；
• 11 = 2 + (11 - 2)：表示 11 可以拆成面值为 2 的 1 个硬币和凑成面值为 9 的最小硬币数之和；
• 11 = 5 + (11 - 5)：表示 11 可以拆成面值为 5 的 1 个硬币和凑成面值为 6 的最小硬币数之和；

三者取最小值。下面写出状态转移方程：

$dp[i] = \min \{1 + dp[i - coins[j]]\}$

这里 j 是硬币列表的序号。注意 i - coins[j] 必须大于等于 0 ，才有意义。

此外，需注意：有两个非常特殊的状态：

1、dp[0] ，0 这个面值是一个在填表的时候被参考的数值，如果总面值为 5，刚好有个硬币的面值也为 5 ，此时 dp[5] = 1 + dp[5 - 5] = 1，故设置 dp[0] = 1；

2、 也有可能出现例 2 的情况，此时需要设置 dp[i] = - 1，这道题问的又是最小值，因此，初始化的时候不能设置为 0 ，应该设置为一个足够大的数。

第 3 步：初始化

（上面已经讨论过了）

第 4 步：输出

输出 dp[amount] 即可。

第 5 步：是否可以状态压缩

每一步都有可能用到之前的状态，因此不能压缩。

再次提醒自己：初始化的时候，因为要比较的是最小值，因此不能初始化为 $-1$。并且这里 $-1$ 有专门的含义。

Java 代码：

import java.util.Arrays;

public class Solution {

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        // 给 0 占位
        int[] dp = new int[amount + 1];

        // 注意：因为要比较的是最小值，这个不可能的值就得赋值成为一个最大值
        Arrays.fill(dp, amount + 1);

        dp[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int coin : coins) {
                if (i - coin >= 0 && dp[i - coin] != -1) {
                    dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
                }
            }

            if (dp[i] == amount + 1) {
                dp[i] = -1;
            }
        }

        if (dp[amount] == amount + 1) {
            dp[amount] = -1;
        }
        return dp[amount];
    }
}

可以用“完全背包”的模板。（代码是正确的，原因我还没有想得特别清楚。）

import java.util.Arrays;

public class Solution {

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, amount + 1);
        dp[0] = 0;

        for (int coin : coins) {
            for (int i = coin; i <= amount; i++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
            }
        }

        if (dp[amount] == 9999) {
            dp[amount] = -1;
        }
        return dp[amount];
    }
}

注意：1、初始化的时候，赋值成一个很大的数就可以了，int 的最大值就有可能造成越界；

2、不要在代码中做打印输出，会拖慢时间。