矩阵快速幂的系数矩阵

参考博客1

问题： 对于 $f_i=A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C,(i\geq3)$，已知 $f_1,f_2$，求解 $f_n(n\leq10^{18})$，由于结果可能过大，答案对 $10^9+7$取模
显然这个问题没法在 $O(n)$复杂度内解决，所以我们另寻他法。

系数矩阵及推导：
我们从最熟悉的 $Fibonacci$入手
$f_1=1,f_2=1,f_i=f_{i-1}+f_{i-2},(i\geq3)$
将 $Fibonacci$通式写成上面式子的模样，得到 $f_i=1 \cdot f_{i-1}+1\cdot f_{i-2}$
初始矩阵为：
$\left[ \begin{matrix} f_{i-1} \\ f_{i-2} \end{matrix} \right]$
想要通过初始矩阵得到结果矩阵：
$\left[ \begin{matrix} f_{i} \\ f_{i-1} \end{matrix} \right]$
那么初始矩阵必然左乘一个 $2\times 2$的系数矩阵：
$\left[ \begin{matrix} k_1 \ k_2 \\ k_3 \ k_4 \end{matrix} \right]$
这样得到的矩阵为：

$\left[ \begin{matrix} k_1 \ k_2 \\ k_3 \ k_4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} f_{i-1} \\ f_{i-2} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} k_1f_{i-1}+k_2f_{i-2} \\ k_3f_{i-1}+k4f_{i-2} \end{matrix} \right]$
由我们写成标准形式的 $Fibonacci$式得到：
$k_1=1,k_2=1$
$k_3f_{i-1}+k4f_{i-1} =f_{i-2}$，故 $k_3=1,k_4=0$
$Fibonacci$通项的系数矩阵即：
$\left[ \begin{matrix} 1 \ \ \ 1 \\ 1 \ \ \ 0 \end{matrix} \right]$

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回到我们的问题所给通项： $f_i=A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C,(i\geq3)$
初始矩阵：
$\left[ \begin{matrix} f_{i-1} \\ f_{i-2} \\ C\\ \end{matrix} \right]$
想要通过初始矩阵得到结果矩阵：
$\left[ \begin{matrix} f_{i} \\ f_{i-1} \\ C \end{matrix} \right]$
那么初始矩阵必然左乘一个 $3\times 3$的系数矩阵：
$\left[ \begin{matrix} k_1 \ k_2 \ k_3\\ k_4 \ k_5 \ k_6\\ k_7 \ k_8 \ k_9 \end{matrix} \right]$
这样得到的矩阵为：

$\left[ \begin{matrix} k_1 \ k_2 \ k_3\\ k_4 \ k_5 \ k_6\\ k_7 \ k_8 \ k_9 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} f_{i-1} \\ f_{i-2} \\ C\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} k_1f_{i-1}+k_2f_{i-2}+k_3C \\ k_4f_{i-1}+k_5f_{i-2}+k_6C\\ k_7f_{i-1}+k_8f_{i-2}+k_9C \end{matrix} \right]$
由问题给定的通项： $f_i=A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C,(i\geq3)$
$f_i = k_1f_{i-1}+k_2f_{i-2}+k_3C = A\cdot f_{i-1}+B\cdot f_{i-2}+C$
故 $k_1=A,k_2=B,k_3=1$
$f_i-1=k_4f_{i-1}+k_5f_{i-2}+k_6C$
故 $k_4=1,k_2=k_3=0$
$C = k_7f_{i-1}+k_8f_{i-2}+k_9C$
故 $k_7=k_8=0,k_9=1$
系数矩阵为：
$\left[ \begin{matrix} A\ B\ 1\\ 1\ 0\ 0\\ 0\ 0\ 1\\ \end{matrix} \right]$

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思考： $f_i=c^i-f_{i-1}$的矩阵形式
解法：
初始矩阵为：
$\left[ \begin{matrix} f_{i-1} \\ c^{i-1} \end{matrix} \right]$
这里需要上述标准式不同的是，你要想到第 $i-1$项中 $c$的指数为多少，为 $i-1$，故初始矩阵和标准式不完全相同，同时我们求的是 $f_i$，所以其不能加上负号，负号都是丢到系数上的。

想要通过初始矩阵得到结果矩阵：
$\left[ \begin{matrix} f_{i} \\ c^{i} \end{matrix} \right]$
那么初始矩阵必然左乘一个 $2\times 2$的系数矩阵：
$\left[ \begin{matrix} k_1 \ k_2 \\ k_3 \ k_4 \end{matrix} \right]$
这样得到的矩阵为：

$\left[ \begin{matrix} k_1 \ k_2 \\ k_3 \ k_4 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} f_{i-1} \\ c^{i-1} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} k_1f_{i-1}+k_2c^{i-1} \\ k_3f_{i-1}+k_4c^{i-1} \end{matrix} \right]$
由 $k_1f_{i-1}+k_2c^{i-1} =f_i$，故 $k_1=-1,k_2=c$
由 $k_3f_{i-1}+k_4c^{i-1} = c^i$，故 $k_3=0,k_4=c$
系数矩阵：
$\left[ \begin{matrix} -1 \ c \\ \ 0 \ \ c \end{matrix} \right]$

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矩阵快速幂：
设 $F_n$为所求的第 $n$项的矩阵形式， $A$为系数矩阵：
那么 $F_n=AF_{n-1}=A^2F_{n-2}=...=A^{n-1}F_1$
$A^{n-1}$这个系数部分可以直接通过快速幂计算得到，最后再乘上初始矩阵即可。
注：初始矩阵一般都是给定的数值。
最后我们直接取出 $F_n$矩阵中的对应的 $f_n$即可。

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例题自取