【数论基础】- 扩展欧几里得

扩展欧几里得

定义：
扩展欧几里得算法是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。
注意：
对于我们求出的解只是一个特解，而且不是对应ax + by = c的解，需要去乘一个c/gcd(a,b)倍。他还有通解形式，即x = x0 + b / gcd(a,b) * t，y = y0 - a /gcd(a,b) * t。
例题：
POJ 1061 ：青蛙的约会
Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input

1 2 3 4 5
Sample Output

4
题目分析：
对于青蛙，他们相遇就是可以想象成从同一个起点跑，最后在同一个起点相遇，即有一只青蛙超了另一只kl的距离。即可列出方程(ms+x)-(ns+y)=kl，化简得(n-m)s+kl=(x-y)。因此答案最后先模l，是为了求最小解，加l再模l，是为了防止解为负值。整个代码中不好理解的可能就是：s=(s*(x-y)/c%l+l)%l。
完整代码：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack>
using namespace std;
#define maxn 100005
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll q=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return q;
}
int main(){
    ll x,y,m,n,l;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    ll s,k,c;
    c=exgcd(n-m,l,s,k);
    if((x-y)%c==0){
        s=(s*(x-y)/c%l+l)%l;
        cout<<s<<endl;
    }
    else cout<<"Impossible\n";
    return 0;
}