一：模运算
1：余数：a对b取模的结果就是a除以b的余数，记作a%b。例如24%5 == 4
2：性质：
\[ （a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p \]
\[ (a-b)\%p=(a\%p-b\%p+p)\%p \]
\[ (a*b)\%p=(a\%p)*(b\%p)\%p \]
二：最大公约数
1：约数：如果a%x==0,我们称x是a的约数(或因数)。
2：倍数：如果a%x==0，我们称a是x的倍数。
3：a与b的最大公约数：是指一个最大整数x既是a的约数也是b的约数，记作gcd(a,b)。
4：算法公式：
\[ gcd(a,b)=\begin{cases} a & b=0 \\ gcd(b,a\%b) &b!=0 \\ \end{cases} \]
5：代码实现：
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}6:证明：
\[ gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]
设
\[ gcd(a,b)=d \]
则
\[ a = nd, b = md,gcd(n,m) =1 \]
又
\[ a\%b = a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor*b=nd-\lfloor \frac{nd}{md} \rfloor*md=(n-\lfloor \frac{n}{m} \rfloor*m)*d=(n\%m)*d \]
所以
\[ gcd(b,a\%b)=gcd(md,(n\%m)*d)=d*gcd(m,n\%m) \]
因此只要证明
\[ gcd(m,n\%m)=1 \]
假设
\[ gcd(m,n\%m)=q,gcd(m,n\%m)!=1 \]
设
\[ n = k*m+r，0<=r<m \]
则
\[ n\%m=r,gcd(m,r) = q \]
设
\[ m = m1*q; r = r1*q \]
那么
\[ n = k*m1*q+r1*q = (k*m1+r1)*q \]
那么q就是n和m的最大公约数，与我们所假设的gcd(n,m)=1矛盾。所以
\[ gcd(m,n\%m)=1 \]
所以
\[ gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]
7：相关性质
\[ gcd(a,b,c)=gcd(a,gcd(b,c)) \]
三：最小公倍数
1：最小公倍数：将a与b的最小公倍数记作lcm(a,b).
2：与最大公约数的关系:
\[ gcd(a,b) = \frac{a}{lcn(a,b)}*b \]
注意：先除后乘防止溢出。
3：相关性质
\[ lcm(a,b,c) = lcm(a,lcm(b,c)) \]
注意：lcm(a,b,c) != abc/gcd(a,b,c)
四：扩展欧几里得
1：用途：扩展欧几里得算法用于解决这样一个问题，给定正整数a,b,求ax+by=gcd(a,b)的一组解。
2：递归求解(核心思想)
已知：
\[ gcd(a,b) = gcd(b,a\%b) \]
则
\[ a*x+b*y = gcd(a,b) =>b*x1+a\%b*y1 = gcd(b,a\%b) \]
假设x1，y1为方程组的一组解。那么:
\[ a*x + b*y = gcd(a,b) = b*x1+a\%b*y1 = b*x1+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b)*y1 = a*y1+b*(x1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*y1) \]
所以：
\[ x = y1; y = x1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*y1 \]
当b==0时，a=1。此时的一组解是
\[ x==1，y==0 \]
3：代码实现
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int gcd = exgcd(b,a%b,y,x);
y -= a/b*x;
return gcd;
}4:推广
以上我们可以求出ax+by=gcd(a,b)的任意一组整数解，但是如何求ax1+by1=c这种呢？如果要求x>0且最小呢？
如果
\[ c\%gcd(a,b)=0 \]
否则无解。
简单证明：
假设
\[ k = \frac{c}{gcd(a,b)} \]
则
\[ a*x1+b*y1=c => a*k*x2+b*y*k2 = gcd(a,b)*k = c \]
所以
\[ x1 = k*x2，y1 = k*y2 \]
如何求x非负且最小呢？
我们假设已经得到ax+by=c的一组解
令
\[ g =gcd(a,b) \]\[ lcm(a,b) = \frac{a}{g}*b \]
可得
\[ a*x+lcm(a,b)+b*y-lcm(a,b) = c \]
所以
\[ a*(x+\frac{b}{g})+b*(y-\frac{a}{g}) = c \]
所以可知x加上或减去任意倍数的b/gcd(a,b)后均有的y的解。
令
\[ t = gcd(a,b) \]
则x的最小非负解为
\[ (x\%t+t)\%t \]