一、题目描述
1.1 题目
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不同路径
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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
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例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
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说明：m 和 n 的值均不超过 100。
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示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
- 示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
1.2 知识点
- 动态规划
1.3 题目链接
二、解题思路
2.1 自研思路
经典的动态规划问题，因为机器人只能够向下或向右移动，因此表格中每个坐标的可能路径数为其左边坐标的路径数加上边坐标的路径数之和，因此直接从上向下，从左至右进行遍历即可，表达式为 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j]，正常来说可以直接使用二维 dp 数组进行求解，但是通过观察可以发现，其实每次真正使用到的只有一行数据，因此我们可以将二维数组压缩为一维数组，压缩方式为竖直压缩，压缩完成后可得 dp[j] = dp[j-1] + dp[j] ，化简后为 dp[j] += dp[i-1] 即可。
需要注意的是，因为表格的边框格均只含有一条路径可达，所以开始前应先将其初始化为 1 ，还有就是对于当数组 m == 0 或 n == 0 的处理，在这种情况下是不存在任何路径可达终点的，相似的当 m == 1 或 n == 1 时，仅存在唯一的一条路径可达终点。
三、实现代码
3.1 自研实现
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
if(m == 0 || n == 0) return 0;
int[] dp = new int[n];
for(int i = 0; i < n; i++) dp[i] = 1; // 初始化 dp 数组
for(int i = 1; i < m; i++)
for(int j = 1; j < n; j++)
dp[j] += dp[j-1];
return dp[n-1];
}
}
