数据结构与算法简记--分治算法

分治算法（divide and conquer）

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算法思想

• 核心思想：分而治之 ，将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
• 适合用递归来实现。
• 分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：
  • 分解：将原问题分解成一系列子问题；
  • 解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
  • 合并：将子问题的结果合并成原问题。
• 分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：
  • 原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
  • 原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别；
  • 具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
  • 可以将子问题合并成原问题，而这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

分治算法应用举例分析

• 求有(逆)序度：有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。除了这两种极端情况外，我们通过计算有序对或者逆序对的个数，来表示数据的有序度或逆序度。如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢?
  • 套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。