算法与数据结构（3）---分治与递归



递归算法：直接或者间接不断反复调用自身来达到解决问题的方法。要求原始问题可以分解为相同问题的子问题。

递归两个要素

1.递归边界

2.递归的逻辑——递归"公式"

列举一些例子

1  阶乘函数

n!=n(n-1)!

public static int factorial(int n){

if(n==0) return 1;

return n*factorial(n-1);

}

斐波那契数列

斐波那契数列的递推公式:Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)，指的是如下所示的数列：

1、1、2、3、5、8、13、21.....

按照其递推公式写出的递归函数如下：

1 2 3 4 5 6 7 8

public static int fib(int n) throws Exception {     if (n < 0)         throw new Exception("参数不能为负！");     else if (n == 0 || n == 1)         return n;     else         return fib(n - 1) + fib(n - 2); }

递归调用的过程像树一样，通过观察会发现有很多重复的调用。

讲完了递归 我们就可以讨论分治了。

分治

分治法有三个解题步骤，无论是简单的分治还是复杂的，都逃不开这个标准步骤。它们是：

1. 拆解子任务
2. 解决子任务
3. 合并子任务的解

分治算法应用在方方面面，一般来说，解决子任务这一步骤相对容易，因为当子任务拆到规模一定小的情况下，解就会显得非常简单。分治算法的应用难点一般都会出现在拆解子任务与合并解的步骤上。

我们也是举几个例子来说明一些分治

例子1  二分搜索技术

1.二分查找又称折半查找，它是一种效率较高的查找方法。

2.二分查找要求：（1）必须采用顺序存储结构 （2）.必须按关键字大小有序排列

3.原理：将数组分为三部分，依次是中值（所谓的中值就是数组中间位置的那个值）前，中值，中值后；将要查找的值和数组的中值进行比较，若小于中值则在中值前 面找，若大于中值则在中值后面找，等于中值时直接返回。然后依次是一个递归过程，将前半部分或者后半部分继续分解为三部分。

4.实现：二分查找的实现用递归和循环两种方式

例子2 棋盘覆盖 棋盘覆盖也是一个经典的分治

棋盘覆盖问题要求在2^k * 2^k 个方格组成的棋盘中，你给定任意一个特殊点，用一种方案实现对除该特殊点的棋盘实现全覆盖。

建立模型如图：

解决方案就是利用分治法，将方形棋盘分成4部分，如果该特殊点在某一部分，我们就去递归他，如果不在某一部分，我们假设一个点为特殊点，同样递归下去，知道全覆盖。

    左上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格；

    右上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格；

    左下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格；

    右下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格；

ps: 代码不写了。

例子3 合并排序

1. //将有二个有序数列a[first...mid]和a[mid...last]合并。  
2. void mergearray(int a[], int first, int mid, int last, int temp[])  
3. {  
4.     int i = first, j = mid + 1;  
5.     int m = mid,   n = last;  
6.     int k = 0;  
7.       
8.     while (i <= m && j <= n)  
9.     {  
10.         if (a[i] <= a[j])  
11.             temp[k++] = a[i++];  
12.         else  
13.             temp[k++] = a[j++];  
14.     }  
15.       
16.     while (i <= m)  
17.         temp[k++] = a[i++];  
18.       
19.     while (j <= n)  
20.         temp[k++] = a[j++];  
21.       
22.     for (i = 0; i < k; i++)  
23.         a[first + i] = temp[i];  
24. }  
25. void mergesort(int a[], int first, int last, int temp[])  
26. {  
27.     if (first < last)  
28.     {  
29.         int mid = (first + last) / 2;  
30.         mergesort(a, first, mid, temp);    //左边有序  
31.         mergesort(a, mid + 1, last, temp); //右边有序  
32.         mergearray(a, first, mid, last, temp); //再将二个有序数列合并  
33.     }  
34. }  
35.   
36. bool MergeSort(int a[], int n)  
37. {  
38.     int *p = new int[n];  
39.     if (p == NULL)  
40.         return false;  
41.     mergesort(a, 0, n - 1, p);  
42.     delete[] p;  
43.     return true;  
44. }  

分治与递归就总结到这里吧。虽然简单，但是感觉还要自动多做练习，多写代码才能掌握。