Spectral clustering谱聚类

Basic knowledge: 

degree matrix; similarity matrix, and Adjacency matrix;

无向带权图模型 G=<V,E>G=<V,E>，每一条边上的权重wij为两个顶点的相似度，从而可以定义相似度矩阵W，此外还可以定义度矩阵D和邻接矩阵A，从而有拉普拉斯矩阵 L=D−A;

距离度量与邻接矩阵
  邻接矩阵某种程度上反映了图中各结点之间的相似性，普通的邻接矩阵元素非0即1，谱聚类中的邻接矩阵用KNN来计算。具体来说，遍历每一个结点xi，根据相似度（或距离）矩阵找出它的kk个最接近的点，构成xixi的邻域NiNi，然后按以下规则之一构造邻接矩阵。

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Methodology: 

1. similarity matrix S; 通过样本点距离度量的相似矩阵S来获得邻接矩阵W. 

构建邻接矩阵WW的方法有三类。ϵϵ-邻近法，K邻近法和全连接法。

2. Laplacians matrix,

拉普拉斯矩阵L=D−W

　输入：样本集D=(x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn)，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度k1k1, 聚类方法，聚类后的维度k2k2

　　　　输出： 簇划分C(c1,c2,...ck2)C(c1,c2,...ck2).　

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　　　　1) 根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵S

　　　　2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D

　　　　3）计算出拉普拉斯矩阵L

　　　　4）构建标准化后的拉普拉斯矩阵D−1/2LD−1/2D−1/2LD−1/2

　　　　5）计算D−1/2LD−1/2D−1/2LD−1/2最小的k1k1个特征值所各自对应的特征向量ff

　　　　6) 将各自对应的特征向量ff组成的矩阵按行标准化，最终组成n×k1n×k1维的特征矩阵F

　　　　7）对F中的每一行作为一个k1k1维的样本，共n个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为k2k2。

　　　　8）得到簇划分C(c1,c2,...ck2)C(c1,c2,...ck2).　　　　

谱聚类算法的主要优点有：

　　　　1）谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到

　　　　2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。

　　　　谱聚类算法的主要缺点有：

　　　　1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。

　　　　2) 聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。