谱聚类（spectral clustering）是广泛使用的聚类算法，比起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也小很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。在处理实际的聚类问题时，个人认为谱聚类是应该首先考虑的几种算法之一。下面我们就对谱聚类的算法原理做一个总结。
1. 谱聚类概述
谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了广泛的应用。它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。
乍一看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的无向图，线性代数和矩阵分析都有一定的了解。下面我们就从这些需要的基础知识开始，一步步学习谱聚类。
2. 谱聚类基础之一：无向权重图
由于谱聚类是基于图论的，因此我们首先温习下图的概念。对于一个图G，我们一般用点的集合V和边的集合E来描述。即为G(V,E)。其中V即为我们数据集里面所有的点(v1,v2,…vn)。对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。我们定义权重wij为点vi和点vj之间的权重。由于我们是无向图，所以wij=wji。
对于有边连接的两个点vi和vj，wij>0,对于没有边连接的两个点vi和vj，wij=0。对于图中的任意一个点vi，它的度di定义为和它相连的所有边的权重之和，即
利用每个点度的定义，我们可以得到一个nxn的度矩阵D,它是一个对角矩阵，只有主对角线有值，对应第i行的第i个点的度数，定义如下：
利用所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是一个nxn的矩阵，第i行的第j个值对应我们的权重wij。
除此之外，对于点集V的的一个子集A⊂V，我们定义：
|A|:=子集A中点的个数
3. 谱聚类基础之二：相似矩阵
在上一节我们讲到了邻接矩阵W，它是由任意两点之间的权重值wij组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重，但是在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？
基本思想是，距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，不过这仅仅是定性，我们需要定量的权重值。一般来说，我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵S来获得邻接矩阵W。
构建邻接矩阵W的方法有三类。ϵ-邻近法，K邻近法和全连接法。
对于ϵ-邻近法，它设置了一个距离阈值ϵ，然后用欧式距离sij度量任意两点xi和xj的距离。即相似矩阵的sij=||xi−xj||2, 然后根据sij和ϵ的大小关系，来定义邻接矩阵W如下：
从上式可见，两点间的权重要不就是ϵ,要不就是0，没有其他的信息了。距离远近度量很不精确，因此在实际应用中，我们很少使用ϵ-邻近法。
第二种定义邻接矩阵W的方法是K邻近法，利用KNN算法遍历所有的样本点，取每个样本最近的k个点作为近邻，只有和样本距离最近的k个点之间的wij>0。但是这种方法会造成重构之后的邻接矩阵W非对称，我们后面的算法需要对称邻接矩阵。为了解决这种问题，一般采取下面两种方法之一：
第三种定义邻接矩阵W的方法是全连接法，相比前两种方法，第三种方法所有的点之间的权重值都大于0，因此称之为全连接法。可以选择不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和Sigmoid核函数。最常用的是高斯核函数RBF，此时相似矩阵和邻接矩阵相同：
在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。
4. 谱聚类基础之三：拉普拉斯矩阵
单独把拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)拿出来介绍是因为后面的算法和这个矩阵的性质息息相关。它的定义很简单，拉普拉斯矩阵L=D−W。D即为我们第二节讲的度矩阵，它是一个对角矩阵。而W即为我们第二节讲的邻接矩阵，它可以由我们第三节的方法构建出。
拉普拉斯矩阵有一些很好的性质如下：
1）拉普拉斯矩阵是对称矩阵，这可以由D和W都是对称矩阵而得。
2）由于拉普拉斯矩阵是对称矩阵，则它的所有的特征值都是实数。
3）对于任意的向量f,我们有
这个利用拉普拉斯矩阵的定义很容易得到如下：
4) 拉普拉斯矩阵是半正定的，且对应的n个实数特征值都大于等于0，即0=λ1≤λ2≤…≤λn， 且最小的特征值为0，这个由性质3很容易得出。
5. 谱聚类基础之四：无向图切图
对于无向图G的切图，我们的目标是将图G(V,E)切成相互没有连接的k个子图，每个子图点的集合为：A1,A2,..Ak，它们满足Ai∩Aj=∅,且A1∪A2∪…∪Ak=V.
对于任意两个子图点的集合A,B⊂V, A∩B=∅, 我们定义A和B之间的切图权重为：
那么对于我们k个子图点的集合：A1,A2,..Ak，我们定义切图cut为：
其中A¯¯¯¯i为Ai的补集，意为除Ai子集外其他V的子集的并集。
那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化cut(A1,A2,…Ak), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图：
我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化cut(A1,A2,…Ak), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中”Best Cut”这样的最优切图呢？我们下一节就来看看谱聚类使用的切图方法。
6. 谱聚类算法流程
铺垫了这么久，终于可以总结下谱聚类的基本流程了。一般来说，谱聚类主要的注意点为相似矩阵的生成方式（参见第二节），切图的方式（参见第六节）以及最后的聚类方法（参见第六节）。
最常用的相似矩阵的生成方式是基于高斯核距离的全连接方式，最常用的切图方式是Ncut。而到最后常用的聚类方法为K-Means。下面以Ncut总结谱聚类算法流程。
输入：样本集D=(x1,x2,…,xn)，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度k1, 聚类方法，聚类后的维度k2
输出： 簇划分C(c1,c2,…ck2).
1) 根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵S
2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D
3）计算出拉普拉斯矩阵L
4）构建标准化后的拉普拉斯矩阵
5）计算
最小的k1个特征值所各自对应的特征向量f
6) 将各自对应的特征向量f组成的矩阵按行标准化，最终组成n×k1维的特征矩阵F
7）对F中的每一行作为一个k1维的样本，共n个样本，用输入的聚类方法进行聚类，聚类维数为k2。
8）得到簇划分C(c1,c2,…ck2).
7. 谱聚类算法总结
谱聚类算法是一个使用起来简单，但是讲清楚却不是那么容易的算法，它需要你有一定的数学基础。如果你掌握了谱聚类，相信你会对矩阵分析，图论有更深入的理解。同时对降维里的主成分分析也会加深理解。
下面总结下谱聚类算法的优缺点。
谱聚类算法的主要优点有：
1）谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到
2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。
谱聚类算法的主要缺点有：
1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。
2) 聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。
注：本博客转自：https://www.cnblogs.com/pinard/p/6221564.html