树状数组进阶

一.区间修改,单点查询

原数组\(A\),有元素\(a_1,a_2,a_3...a_n\)

考虑差分数组\(C\),\(c_1,c_2,c_3...c_n\)

其中\(c_i=a_i-a_{i-1}\)

这样,$a_i=\sum_{j=1}^{i} c_j $

用树状数组维护前缀和

区间修改 \(l,r,v\)

   c[l]+=v;
   c[r+1]-=v;

单点查询 \(p\)

   cout<<query(p);

二.区间修改,区间查询

原数组\(A\),有元素\(a_1,a_2,a_3...a_n\)

考虑差分数组\(C\),\(c_1,c_2,c_3...c_n\)

其中\(c_i=a_i-a_{i-1}\)

这样,$a_i=\sum_{j=1}^{i} c_j $

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通过这样,我们查询\(A\)数组的前缀和 \(a_1...a_p\)

得到 $ \sum_{i=1}^{p} a_i = \sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{i} c_j$

进一步得到

$ \sum_{i=1}^{p} a_i = \sum_{i=1}^{p} (p+1-i) * c_i$

转换得到

$ \sum_{i=1}^{p} a_i = (p+1) * \sum_{i=1}^{p} c_i - \sum_{i=1}^{p} i * c_i$

考虑差分数组\(D\),\(d_1,d_2,d_3...d_n\)
和\(E\),\(e_1,e_2,e_3...e_n\)

\(d_i= c_i\)

\(e_i= i * c_i\)

树状数组维护\(D,E\)数组的前缀和

模板题

[code]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

int read(){
    int x=0; char c; int flag=1;
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') flag=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=((x+(x<<2))<<1)+(c^48);
    return x*flag;
}
const int N=1e5+10;

int a[N+10],c[N+10];
int d[N+10],e[N+10];
int lowbit(int x) { return x&(-x); }
void update(int x,int y){
    for(int i=x;i<=N;i+=lowbit(i))
    d[i]+=y;
    for(int i=x;i<=N;i+=lowbit(i))
    e[i]+=x*y;
}
int query(int x){
    int ret=0;
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
    ret+=(x+1)*d[i];
    for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
    ret-=e[i];
    return ret;
}
int n,m;

signed main() {
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=a[i]-a[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) update(i,c[i]);
    
    while(m--){
        int opt=read();
        if(opt==1){
            int l=read(),r=read(),v=read();
            update(l,v); update(r+1,-v);
        }else{
            int l=read(),r=read();
            printf("%lld\n",query(r)-query(l-1));
        }
    }
    
    return 0;
}