树状数组综述

树状数组综述

树状数组能解决的问题

树状数组，也称作“二叉索引树”（Binary Indexed Tree）或 Fenwick 树。
它可以高效地解决处理如下两个操作：1、数组前缀和的查询；2、单点更新。

下面具体解释这两个操作：

操作1：数组前缀和的查询

例1：已知数组 [10, 15, 17, 19, 20, 14, 12] 。
1、求索引 0 至索引 4 的元素的和；
2、求索引 0 至索引 5 的元素的和；
3、求索引 0 至索引 7 的元素的和。

是不是觉得很简单，“前缀和”定义了一个从数组的“头”开始的区间，统计的是这个从头开始的区间的“和”。

操作2：单点更新

例 2：已知数组 [10, 15, 17, 19, 20, 14, 12] 。
1、将索引为 4 的元素增加 2；
2、将索引为 6 的元素减少 3。

“单点更新”定义了将数组指定索引的元素值变更为另一个值，给出的参数是一个改变的数值，即“更新以后的值-原来的值”。

如果我们不使用任何数据结构，仅依靠定义，操作1 的时间复杂度是 $O(n)$，操作2的时间复杂度是 $O(1)$。
我们觉得操作1 的时间复杂度较大，要扫描这个区间的一大部分元素，才能得到这个区间的和，为此，一个常见的做法是，我们可以实现计算出一个“前缀和数组”，这个数组的每个元素对应的正是原来数组的前缀和。

例3：已知数组 nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] ，求前缀和数组 cumsum。
分析：前缀和数组 cumsum = [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28]。

有了前缀和数组每次查询前缀和时间复杂度就变成了 O(1)。前缀和数组得到以后，就可以以 O(1) 的时间复杂度解决“区间和”问题。

例4：已知数组 nums = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] ，求区间 [3, 7] 的和（数组索引从 1 开始）。
分析：由于，前缀和(7) = nums[1] + nums[2] + nums[3] + nums[4] + nums[5] + nums[6] + nums[7] ；
前缀和(2) = nums[1] + nums[2]；
区间 [3, 7] 的和 = nums[3] + nums[4] + nums[5] + nums[6] + nums[7]；
因此，区间 [3, 7] 的和 = 前缀和(7) - 前缀和(2) 。

前缀和数组知道了，区间和也可以很快地求出来。

那如果我要执行操作2，就得更新这个前缀和数组，又得计算一次前缀和，时间复杂度为 O(n)。
那如果我在一次业务场景中“操作1”（前缀和）和“操作2”（单点更新）的次数都很多，前缀和数组就不高效了。因此，Fenwick 树就诞生了。

树状数组长什么样子

我们首先先看看树状数组长什么样，有一个直观的认识。

例5：我们以一个有 8 个元素的数组 A 为例（如上图），在数组 A 之上建立一个数组 C，使得数组 C 的形成如上的一个多叉树形状，数组 C 就是一个树状数组。此时我们有以下疑问：
1、树状数组要建成树形结构吗？
分析：不。学习过堆、线段树的朋友一定知道，只要能方便地索引左右孩子结点、双亲结点，这样的树就不必创建成结点、指针那样的树形结构；
2、如何解释“前缀和查询”、“单点更新”。
分析：例如，我们要查询前缀和(4)，本来应该问 A1、A2、A3、A4，有了 C 数组之后，我们只要问 C2、C3、A4 即可。
再如，我们要更新结点 A1 的值，只要自底向上更新 C1、C2、C4、C8 的值即可。

在这个小数组中，可能我们无法体会到 ** Fenwick 树的威力，各位看官稍安勿躁，学习到后面，你就知道为什么 Fenwick 树**对于“前缀和查询”和“单点更新”都非常频繁的业务来说是高效的。

理解 C 数组的定义

• 首先我们强调一下，树状数组的下标从 1 开始计数，这一点我们看到后面就会很清晰了。
• 数组 C 是一个对原始数组 A 的预处理数组。
• 几个记号。

为了方便说明，避免后面行文啰嗦，我们将固定使用记号 $i$ 、$j$ 、 $k$，它们的定义如下，请读者一定先记住这两个记号所代表的含义：
记号 $i$ ：表示预处理数组 $C$ 的索引（十进制表示）。
记号 $j$ ：表示原始数组 $A$ 的索引（十进制表示）。
我们通过以下的图，来看看 $C1$、C2、C3、C4、C5、C6、C7、C8 分别是如何定义的。

上面的过程我们用如下的表来表示。

$C$ 数组的索引与 $A$ 数组的索引的关系

我们注意到上表中标注了“数组 $C$ 中的元素来自数组 $A$ 的个数”，它们的规律如下：
将数组 $C$ 的索引 $i$ 表示成二进制，从右向左数出 0 的个数，遇到 1 则停止，记为 $k$，计算 $2^k$ 就是“数组 $C$ 中的元素来自数组 $A$ 的个数”，并且可以具体得到来自数组 $A$ 的表示，即从当前索引 i 开始，从右向前数出 $2^k$ 个数组 $A$ 中的元素的和，即组成了 $C[i]$。下面具体说明。

记号 $k$ ：将 $i$ 的二进制表示从右向左数出 0 的个数，遇到 1 则停止，记为 $k$。 我们只对数组 $C$ 的索引 $i$ 进行这个计算，数组 $A$ 的索引 $j$ 不进行相应的计算。理解 $k$ 是怎么得到的是一个关键，请务必重视：

例5：当 $i = 5$ 时，计算 $k$。
分析：因为 5 的二进制表示是 0000 0101，从右边向左边数，第 1 个是 1 ，因此 0 的个数是 0，此时 $k$ = 0。

例6：当 $i = 8$ 时，求 $k$。
分析：因为 8 的二进制表示是 0000 1000，从右边向左边数遇到 1 之前，遇到了 3 个 0，此时 $k$ = 3。

计算出 $k$ 以后，$2^k$ 立马得到，为此，我们可以马上画出如下表格：

我们看到 $2^k$ 是我们最终想要的。下面，我们介绍一种很酷的操作，叫做 lowbit ，它可以高效地计算 $2^k$，即我们要证明：

$$lowbit(i) = 2^k$$

其中 $k$ 是将 $i$ 表示成二进制以后，从右向左数出 0 的个数，遇到 1 则停止。

通过 lowbit 操作高效计算 $2^k$

lowbit(i) = i & (-i)

对，就是这么简单。理解这行伪代码需要一些二进制和位运算的知识作为铺垫。
首先，负数的二进制表示为：相应正数的二进制表示的反码 + 1。

例7：计算 -6 的二进制表示。
分析：6 的二进制表示为 0000 0110，先表示成反码，即 0 变1，1变0，得 1111 1001，再加 1，得 1111 1010。

例8：当 i = 6 时，计算 lowbit(i) = i & (-i)。
分析：由例 7，及“与运算”的定义，把它们按照数位对齐上下写好，
0000 0110
1111 1010
0000 0010（上下同时为1才写 1，否则写 0）
得 0000 0010，这个二进制数表示成十进制数就是 2。建议大家多在稿纸上写几个具体的例子来计算 lowbit，进而来理解为什么 lowbit(i) = $2^k$。下面我给出一个我的直观解释：
如果我们直接将一个整数取反，在与原来的数做“与运算”，一定得到 0。妙就妙在，负数的二进制表示上，除了要求对“相应的正数取反”以外，还要“加 1”，在“加 1 ”的过程中产生的进位的次数即是“将 i 表示成二进制以后，从右向左数出 0 的个数（遇到1停止）”。

众所周知，位运算是十分高效的，那么我们知道了 lowbit 以后，又有什么用呢？回答：它能帮助我们在树状数组中“从子结点索引到双亲节点”（对应“单点更新”操作），“计算前缀和由预处理数组的那些元素表示”（对应“前缀和查询操作”）。

lowbit 的魅力所在

“从子结点索引到双亲节点”（对应“单点更新”操作），

例9：修改 $A[3]$， 分析对数组 $C$ 产生的变化。
从图中，我们可以看出 $A[3]$ 的双亲结点以及祖先结点依次是 $C[3]$、$C[4]$、$C[8]$ ，所以修改了 $A[3]$ 以后 $C[3]$、$C[4]$、$C[8]$ 的值也要修改。
先看 $C[3]$ ，$lowbit(3) = 1$， $3 + lowbit(3) = 4$ 就是 $C[3]$ 的父亲结点 $C[4]$ 的索引值。
再看 $C[4]$ ，$lowbit(4) = 4$， $4 + lowbit(4) = 8$ 就是 $C[4]$ 的父亲结点 $C[8]$ 的索引值。
从图中，也请大家验证，红色结点的索引值 + 右下角蓝色圆形结点的值 = 红色结点的双亲结点的索引值。我试图解释这个现象：3 即 0011，从右向左，遇到 0 放过，遇到 1 ，给这个数位加 1，（这个操作就相当于加上了一个 $2^k$ 的二进制数，即一个 lowbit 值）可以看到，马上就发发生了进位，得到 0100，即 4 的二进制表示。
接下来处理 0100，从右向左，遇到 0 放过，遇到 1 ，给这个数位加 1（同样地，这个操作就相当于加上了一个 $2^k$ 的二进制数，即一个 lowbit 值），可以看到，马上就发发生了进位，得到 1000，即 8 的二进制表示。

从我上面的描述中，你可以发现，我们又在做，从右边到左边数出 0 的个数这件事情了，
因此从已知子结点的索引 $i$ 求 $i$ 的父节点的索引 parent 即：$parent(i) = i + lowbit(i)$。

可不过我还想说明的是，这不是巧合，和循环论证，这正是因为对 “从右边到左边数出 0 的个数，遇到 1 停止这件事情”的定义，使用 lowbit 可以快速计算这件事成立，才会有的。

分析到这里“单点更新”的代码就可以马上写出来了。

/**
 * 单点更新
 *
 * @param i     原始数组索引 i
 * @param delta 变化值 = 更新以后的值 - 原始值
 */
public void update(int i, int delta) {
    // 从下到上更新，注意，预处理数组，比原始数组的 len 大 1，故 预处理索引的最大值为 len
    while (i <= len) {
        tree[i] += delta;
        i += lowbit(i);
    }
}

public static int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

计算前缀和由预处理数组的那些元素表示”（对应“前缀和查询操作”）

还是这张图。

例 10 ：求出前缀和(6)。
由图可以看出 前缀和(6) = $C[6]$ + $C[4]$
先看 $C[6]$ ，$lowbit(6) = 2$， $6 - lowbit(6) = 4$ 正好是 $C[6]$ 的上一个非叶子结点 $C[4]$ 的索引值。这里给出我的一个直观解释，如果下标表示高度，那么上一个非叶子节点，其实就是从右边向左边画一条水平线，遇到的墙的索引。只要这个值大于 0，都能正确求出来。

例11：求出前缀和(5)。
再看 $C[5]$ ，$lowbit(5) = 1$， $5 - lowbit(6) = 4$ 正好是 $C[5]$ 的上一个非叶子结点 $C[4]$ 的索引值，
故 前缀和(5) = $C[5]$ + $C[4]$。

例12：求出前缀和(7)。
再看 $C[7]$ ，$lowbit(7) = 1$， $7 - lowbit(7) = 6$ 正好是 $C[7]$ 的上一个非叶子结点 $C[6]$ 的索引值，再由例9 的分析，前缀和(7) =$C[7]$ + $C[6]$ + $C[4]$。

例13：求出前缀和(8)。
再看 $C[8]$ ，$lowbit(8) = 8$， $8 - lowbit(8) = 0$ ， 0 表示没有，从图上也可以看出从右边向左边画一条水平线，不会遇到的墙，故前缀和(8) = $C[8]$，是不是很酷 。

经过以上的分析，求前缀和的代码也可以写出来了。

/**
 * 查询前缀和
 *
 * @param i 前缀的最大索引，即查询区间 [0, i] 的所有元素之和
 */
public int query(int i) {
    // 从右到左查询
    int sum = 0;
    while (i > 0) {
        sum += tree[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return sum;
}

树状数组的初始化

树状数组的初始化可以通过“单点更新”来实现，因为“最最开始”的时候，数组的每个元素的值都为 0，每个都对应地加上原始数组的值，就完成了预处理数组 $C$ 的创建。
这里要特别注意，update 操作的第 2 个索引值是一个变化值，而不是变化以后的值。因为我们的操作是逐层上报，汇报变更值会让我们的操作更加简单，这一点请大家反复体会。

public FenwickTree(int[] nums) {
    this.len = nums.length + 1;
    tree = new int[this.len + 1];
    for (int i = 1; i <= len; i++) {
        update(i, nums[i]);
    }
}

综上，我们的树状数组的代码已经可以写出来了，是不是很酷。

public class FenwickTree {

    /**
     * 预处理数组
     */
    private int[] tree;
    private int len;

    public FenwickTree(int n) {
        this.len = n;
        tree = new int[n + 1];
    }

    public FenwickTree(int[] nums) {
        this.len = nums.length + 1;
        tree = new int[this.len + 1];
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            update(i, nums[i]);
        }
    }

    /**
     * 单点更新
     *
     * @param i     原始数组索引 i
     * @param delta 变化值 = 更新以后的值 - 原始值
     */
    public void update(int i, int delta) {
        // 从下到上更新，注意，预处理数组，比原始数组的 len 大 1，故 预处理索引的最大值为 len
        while (i <= len) {
            tree[i] += delta;
            i += lowbit(i);
        }
    }

    /**
     * 查询前缀和
     *
     * @param i 前缀的最大索引，即查询区间 [0, i] 的所有元素之和
     */
    public int query(int i) {
        // 从右到左查询
        int sum = 0;
        while (i > 0) {
            sum += tree[i];
            i -= lowbit(i);
        }
        return sum;
    }

    public static int lowbit(int x) {
        return x & (-x);
    }
}

暂时先到这里，后面我们会添加一些例题来解释树状数组的应用。