首先讲一下生什么是树状数组:
由图可知，原始的数组是a数组，树状数组是e数组。通俗的说：
e[1]=a[1];
e[2]=a[1]+a[2];
e[3]=a[3];
e[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];
e[5]=a[5];
e[6]=a[5]+a[6];
e[7]=a[7];
e[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];
为什么是这样的规律呢？这就涉及到2进制的问题了。我们首先看一下e[1]，1的二进制是1，有从后往前有0个连续的0，那么，我们规定：e[1]就是从a数组的1位置往前推2^0个数的和。我们再来看一下e[8]，的二进制位1000，从后往前有3个连续的0，那么e[8]就是从a数组的8位置往前推2^3个数的和，即：a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]。我们最后看一下e[10],10的二进制是1010，从后往前有1个连续的0，那么e[10]就是从a数组的10位置往前推2^1个数的和，即：a[9]+a[10]。
接下来开始讲树状数组的2种基本操作：
sum操作：
求数组的前缀和。
代码如下：
int sum(int q)//求前缀和（a数组n位置到1位置上的数的和）
{
int ret=0;
for(int i=q;i>=1;i-=lowbit(i))
ret+=c[i];
return ret;
}
update操作
更新后缀和
代码如下：
void update(int i,int j)//当a数组i位置上的数变化了j后，重新更新树状数组c
{
for(int k=i;k<=n;k+=lowbit(k))
c[k]+=j;
}
下面是一个完整树状数组程序的代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 9999
using namespace std;
string op;//指令
int a[MAXN];//原始数组
int c[MAXN];//树状数组
int n;//原始数组的大小
int q;//查询前缀和时查询从数组1到q位置上的和
int z,l;//更新后缀和时原始数组z位置变化了l
int lowbit(int n)//假如说n等于8，那么8的2进制为：1000。函数返回的是2^3（二进制中有从后往前连续的3个0），即：8。
{
return n&(-n);
}
int sum(int q)//求前缀和（a数组n位置到1位置上的数的和）
{
int ret=0;
for(int i=q;i>=1;i-=lowbit(i))
ret+=c[i];
return ret;
}
void update(int i,int j)//当a数组i位置上的数变化了j后，重新更新树状数组c
{
for(int k=i;k<=n;k+=lowbit(k))
c[k]+=j;
}
int main()
{
while (cin>>n)
{
memset(c,0,sizeof(c));
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
update(i,a[i]);//刚开始建立树状数组时，每次都得进行这个过程，和建立大根堆（小根堆）时差不多，每次都得进行heapinsert过程
}
cin>>op;
if(op=="update")
{
cin>>z>>l;
update(z,l);
}
if(op=="sum")
{
cin>>q;
cout<<sum(q)<<endl;
}
}
}
接下来讲一下为什么用树状数组进行查询前缀和，更新数组中的值这些操作会很快。
我们先想一下正常的求数组前缀和的操作：从数组i位置往前遍历到1位置，累加。时间复杂度为O（n）。用树状数组：假如说求数组前6项的和，只需要找到e[6]位置和e[4]位置，累加。就得到结果了。时间复杂度为O（log n）。很显然快。
还是上面思路，我们先想一下正常的更新数组中某个位置的值的操作：找到这个位置，更新。时间复杂度为O（1）。用树状数组：假设数组1位置上的数发生了变化，我们需要更新e[1],e[2],e[4],e[8]（假设数组大小是8），时间复杂度为O（log n）。比正常的操作的时间复杂度还高，但是你要两种操作合起来看，树状数组的整体时间复杂度是O（log n），而普通的方法是求前缀和操作很慢，更新数组中数的操作很快。还是选择树状数组比较好