1. 逻辑回归简介
在前面的学习中，我们学习了用于分类的kNN算法，用于回归的线性回归算法，并分析了它们的损失、风险等方面的特性。
本文将继续探讨另一个机器学习的算法——逻辑回归。
首先明确一下方向，逻辑回归算法，虽然名为回归，但它并不是用来解决回归问题，而是一种分类问题的算法。
你可能会问，既然是分类，为什么要叫做回归呢？难道是发明这个算法的人脑子有坑吗？
当然不是。被称为回归，当然是有道理的。这也就是对逻辑回归这个概念认识的关键。下面，且听笔者解释：
- 假如，你此时此刻想要买房。我们不妨做三个假设：第一，你并不富裕，房价的波动在你的考虑范围之内；第二，你刚刚交了三个月的房租，不能退款，因此目前并不急于入住。第三，你确定希望购买这套房子。这样一来，我们的决策其实取决于一件事情：房价在将来一段时间内的变化。假如等到你不得不购买的时候，房价高于现价，那么你现在应该购买；低于现价，那么你应该等到那个时候再购买。于是，你现在是否购房，就等价于现在的房价是否低于一段时间之后的房价。然而，你并没有办法百分之百确定后者，所以，我们可以做如下操作：如果涨价的概率超过某一个你期望的值，就买下；否则，暂时观望。
这就是逻辑回归的一种场景。
Wikipedia中对逻辑回归定义如下：
对数几率回归（也称“逻辑回归”）（英语：Logistic regression 或logit regression），即对数几率模型（英语：Logit model，也译作“逻辑模型”、“评定模型”、“分类评定模型”）是离散选择法模型之一，属于多重变量分析范畴，是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、计量经济学、市场营销等统计实证分析的常用方法。
通过上面的例子，我们明白，之所以称为回归，是因为算法运行的关键是对目标事件发生概率的估计，而概率估计的过程，当然是一个回归的过程。只不过，我们在回归的最后多了一步，即根据回归的结果做出分类。也就是说，逻辑回归就是用回归的思路解决分类问题。
2. 逻辑回归详解
2.1 probit回归
上述的例子，其实是一个典型的博弈场景。我们引入正效用和负效用的概念，分别用\(y^*\), \(y^\sim\)表示，简单来说，它们表示在某种情形之下，决策带给决策者的收益和损失。
这样一来，决策者做出某种决策，就直接等价于\(y^*>y^\sim\)，即\(y^*-y^\sim>0\)。
利用概率论与数理统计的知识，我们得到\(P(y=1)=1-F_\varepsilon(-X\gamma)\)，其中，\(F_\varepsilon\)表示\(\varepsilon\)的分布函数。\(\varepsilon\)服从正态分布。
这就被称为probit分布。
利用probit分布的分布律进行回归，就是我们所说的probit回归。
我们可以看到，probit回归，是利用回归的方法来解决分类问题。即，先用正态分布进行回归处理，然后利用正态分布的结果进行二分类。
然而，正态分布虽然有很多好的性质，比如对线性变换的封闭性，等等，但我们观察它的密度函数：
\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, x\in R\)
我们知道，分布函数是密度函数的不定积分，根据微积分中的知识，上述函数是没有解析形式的原函数的。因此，这给probit回归的实际应用带来了很大的障碍。这就是逻辑回归出现的原因。
2.2 逻辑回归的推导
我们给出这样一个密度函数：
\(f(x)=\displaystyle\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}, x\in R\)
换元积分可得其分布函数为：
\(\sigma(x)=\displaystyle\frac{1}{1+e^{-x}}\)
上述函数，称为sigmoid函数，科学家发现，它可以很好地拟合正态分布。
这样一来，用这种分布来代替probit分布，即保留了正态分布的良好性质，又获得了简洁的分布函数解析形式。我们把这种分布称为标准逻辑分布，用这种分布进行回归实现分类任务的算法，就是逻辑回归算法。
从而我们不难得出（其实很难得出）逻辑回归的回归公式：
\(P(Y=1)=\displaystyle\frac{1}{1+e^{\theta^T\cdot X_b}}\)
其中，\(\theta^T\)表示模型参数，\(X_b\)表示客户特征。
2.3 逻辑回归的本质和损失函数推导
参见 https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI4MjkzNTUxMw==&mid=2247484100&idx=1&sn=50c9caf07c84135b467305685472f2cc&scene=21#wechat_redirect
由于用到复杂的数学知识，且公式繁多，这里不再赘述。
3. 逻辑回归的实现
我们在线性回归的基础上，修改得到逻辑回归。主要内容为：
- 定义sigmoid方法，使用sigmoid方法生成逻辑回归模型
- 定义损失函数，并使用梯度下降法得到参数
- 将参数代入到逻辑回归模型中，得到概率
- 将概率转化为分类
import numpy as np
# 因为逻辑回归是分类问题，因此需要对评价指标进行更改
from .metrics import accuracy_score
class LogisticRegression:
def __init__(self):
"""初始化Logistic Regression模型"""
self.coef_ = None
self.intercept_ = None
self._theta = None
"""
定义sigmoid方法
参数：线性模型t
输出：sigmoid表达式
"""
def _sigmoid(self, t):
return 1. / (1. + np.exp(-t))
"""
fit方法，内部使用梯度下降法训练Logistic Regression模型
参数：训练数据集X_train, y_train, 学习率, 迭代次数
输出：训练好的模型
"""
def fit(self, X_train, y_train, eta=0.01, n_iters=1e4):
assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \
"the size of X_train must be equal to the size of y_train"
"""
定义逻辑回归的损失函数
参数：参数theta、构造好的矩阵X_b、标签y
输出：损失函数表达式
"""
def J(theta, X_b, y):
# 定义逻辑回归的模型：y_hat
y_hat = self._sigmoid(X_b.dot(theta))
try:
# 返回损失函数的表达式
return - np.sum(y*np.log(y_hat) + (1-y)*np.log(1-y_hat)) / len(y)
except:
return float('inf')
"""
损失函数的导数计算
参数：参数theta、构造好的矩阵X_b、标签y
输出：计算的表达式
"""
def dJ(theta, X_b, y):
return X_b.T.dot(self._sigmoid(X_b.dot(theta)) - y) / len(y)
"""
梯度下降的过程
"""
def gradient_descent(X_b, y, initial_theta, eta, n_iters=1e4, epsilon=1e-8):
theta = initial_theta
cur_iter = 0
while cur_iter < n_iters:
gradient = dJ(theta, X_b, y)
last_theta = theta
theta = theta - eta * gradient
if (abs(J(theta, X_b, y) - J(last_theta, X_b, y)) < epsilon):
break
cur_iter += 1
return theta
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
initial_theta = np.zeros(X_b.shape[1])
# 梯度下降的结果求出参数heta
self._theta = gradient_descent(X_b, y_train, initial_theta, eta, n_iters)
# 第一个参数为截距
self.intercept_ = self._theta[0]
# 其他参数为各特征的系数
self.coef_ = self._theta[1:]
return self
"""
逻辑回归是根据概率进行分类的，因此先预测概率
参数：输入空间X_predict
输出：结果概率向量
"""
def predict_proba(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果概率向量"""
assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
"the feature number of X_predict must be equal to X_train"
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
# 将梯度下降得到的参数theta带入逻辑回归的表达式中
return self._sigmoid(X_b.dot(self._theta))
"""
使用X_predict的结果概率向量，将其转换为分类
参数：输入空间X_predict
输出：分类结果
"""
def predict(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict，返回表示X_predict的结果向量"""
assert self.intercept_ is not None and self.coef_ is not None, \
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
"the feature number of X_predict must be equal to X_train"
# 得到概率
proba = self.predict_proba(X_predict)
# 判断概率是否大于0.5，然后将布尔表达式得到的向量，强转为int类型，即为0-1向量
return np.array(proba >= 0.5, dtype='int')
def score(self, X_test, y_test):
"""根据测试数据集 X_test 和 y_test 确定当前模型的准确度"""
y_predict = self.predict(X_test)
return accuracy_score(y_test, y_predict)
def __repr__(self):
return "LogisticRegression()"