几何光学提纲

几何光学

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• 微粒说：认为光是从发光体发出的以一定速度在空间传播的微粒
• 波动说：光是在介质中传播的一种波动

&13.1 几何光学的基本原理

折射定律

• 折射率/绝对折射率：

\[ n=\frac{c}{v} \]

• 折射定律：

\[ \frac{\sin i_1}{\sin i_2}=\frac{n_2}{n_1}=n_{12} \]

全反射临界角

\[ i_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1} \]

费马原理

• 内容：光线在空间两点之间传播，将沿着这样一条路径，即光线沿这条路径传播所需要的时间同临近的路程比起来，不是最大，便是最小或者保持不变（也就是说，所需要的时间是稳定的）
• 表达式：

\[ \int_P^Qndl=极值 \]

&13.2 几何光学成像的基本概念和薄透镜成像规律

物和像

• 实像：出射的同心光束是汇聚的像点组成的像
• 虚像：出射的同心光束是发散的像点组成的像
• 实物：由大量物点组成的物体
• 虚物：实像前放置的透镜，实像对于该透镜便是虚物

光在球面的折射和反射

符号约定

• 间距：物侧为负，像侧为正
• 锐角：顺时针为正，逆时针为负
• 图中间距与角度：均为正，若为负，则在其之前加符号

【傍轴条件：角度小于5°】

傍轴条件下单球面成像公式

• 球面将两个不同介质分开
• 设物点为\(S\)，像点为\(S'\)，则\(SS'\)上\(S\)至球面距离为\(p\)，$S' \(至球面距离为\)p'\(，球面半径为\)r$且在像点侧
• 公式中所有量都为正

\[ \frac{n_2}{p'}-\frac{n_1}{p}=\frac{n_2-n_1}{r} \]

光焦度

• 定义：表征屈折光线本领的常量
• 符号：\(\Phi\)
• 单位：\(m^{-1}\)
• 屈光度_D：非法定，\(D=1/f=(n_2-n_1)/(n_1r)\)
• 公式：

\[ \Phi=\frac{n_2-n_1}{r} \]

焦距

• 共轭点：物点与像点一一对应的点组
• 像方焦点：位于主光轴，该点的实物共轭点位于无限远
• 像方焦距_\(f'\)：像方焦点到球面顶点的距离

\[ f'=\frac{n_2}{n_2-n_1}r \]

• 物方焦点：位于主光轴，该点的实物共轭点位于无限远
• 物方焦距_\(f\)：物方焦点到球面顶点的距离

\[ f=\frac{-n_1}{n_2-n_1}r \]

• 两焦距关系：

\[ \frac{f}{f'}=-\frac{n_1}{n_2} \]

高斯物像公式

\[ \frac{f'}{p'}+\frac{f}{p}=1 \]

牛顿公式

• 令\(p=x+f\)，\(p'=x'+f'\)有：

\[ xx'=ff' \]

傍轴条件下光的折射定律

\[ p'=\frac{n_2}{n_1}p \]

单球面的横向放大率_β

设\(h1\)为光疏介质的物高，\(h2\)为光密介质的像高
\[ \beta=\frac{h_2}{h_1}=\frac{p'n_1}{pn_2} \]

角放大率_γ

• 设S点发出的傍轴光线SM与主光轴之间的夹角为\(-u_1\)，共轭光线夹角为\(u_2\)

\[ \gamma=\frac{p}{p'} \]

拉格朗日-亥姆霍兹定理

• 表示在傍轴区域球面折射成像时，物、像空间各共轭量之间制约关系

\[ h_1n_1u_1=h_2n_2u_2 \]

傍轴情况下薄透镜成像

物像公式

• \(n_1\)为物方折射率，\(n_2\)为像方折射率，n为透镜折射率

\[ \frac{n_2}{p'}-\frac{n_1}{p}=\frac{n-n_1}{r_1}+\frac{n_2-n}{r_2} \]

光焦度

• 等于两单折射球面的光焦度之和

\[ \Phi=\frac{n-n_1}{r_1}+\frac{n_2-n}{r_2} \]

磨镜者公式

• 将透镜置于空气中时：

\[ f=-f'=-\frac{1}{(n-1)\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)} \]

透镜分类及参变量

• 分类：
  • 正透镜/汇聚透镜/凸透镜
  • 负透镜/发散透镜/凹透镜
• 光心：通过光心的光线不改变方向
• 副光轴：通过光心的光轴
• 物/像方焦平面：垂直于主光轴过焦点的平面

薄透镜物像公式的高斯形式

\[ \frac{f'}{p'}+\frac{f}{p}=1 \]

薄透镜物像公式的牛顿形式

\[ xx'=ff' \]

薄透镜作图

利用垂直的双向箭头表示凸透镜，垂直的双向反向箭头表示凹透镜

物像之间的等光程性

• 物点到像点之间的各光线光程都相等，可以用费马定理证得
• 透镜的使用可以改变光线的传播路径，不会引起附加的光程差

&13.3 光学仪器

• 照相机
  • 光圈直径越大、焦距越长、被摄物体越近，景深越小
  • 像的光照度正比于孔径与其焦距的比（即相对孔径）的平方
• 显微镜
  • 光学间隔越大、物镜和目镜的焦距越短，显微镜的放大倍数就越高
• 望远镜
  • 物镜焦距越长、目镜焦距越短，望远镜放大倍率就越大
  • 开普勒望远镜：由两个汇聚透镜组成，成像倒立
  • 伽利略望远镜：由汇聚透镜做物镜，发散透镜作目镜，成像正立

&13.4 光的相干性

光的激发方式

• 热光源：白炽灯
• 冷光源：
  • 电致发光：发光二极管
  • 光致发光：日光灯
  • 化学发光：萤火虫

光的相干

• 干涉的必要条件：频率相同的两束光波在相遇点有相同的振动方向或者有相互平行的振动分量，并且有恒定的相位差
• 相干光：满足以上条件的光
• 相干光源：能产生相干光的光源

光程

• 光在介质中的波长：

\[ \lambda_n=\frac{\lambda_0}{n} \]

• 光程_\(nx\)：光在介质中通过的路程折合到同一时间内在真空中通过的相应路程
• 光程差：

\[ \delta=n_2x_2-n_1x_1 \]

• 薄透镜不引起附加的光程差
• 干涉后相邻明暗条纹光程差：\(\lambda/2\)

&13.5 双缝干涉

双缝干涉方法

原理：分波面法

• 杨氏双缝干涉
• 菲涅尔双镜（双镜半波损失）
• 劳埃德镜（单镜半波损失，观察到镜面与屏幕接触点为暗条纹）

杨氏双缝干涉

• 干涉条纹：明暗相间等距离分布的与夹缝平行的直条纹
• 明条纹：
  • 零级明条纹/中央明纹：k=0

\[ x=2k\frac{D\lambda}{2d} \]

• 暗条纹：

\[ x=(2k-1)\frac{D\lambda}{2d} \]

&13.6 薄膜干涉

原理：分振幅法

薄膜的等倾干涉

• 定义：处于同一条干涉条纹上的各个光点是由从光源射到薄膜的倾角相同的入射光所形成
• 等倾干涉条纹图像位于无限远，加了透镜后会形成干涉环
• 明条纹：

\[ \delta=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac{\lambda}{2}=k\lambda \]

• 暗条纹：

\[ \delta=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2} \]

薄膜的等厚干涉

• 设e为劈尖角度
• 若干涉物是透镜，则会形成牛顿环
• 明条纹：

\[ 2ne+\frac{\lambda}{2}=k\lambda \]

• 暗条纹：

\[ 2ne+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2} \]

迈克尔孙干涉仪

• 设M1镜移动距离为d，干涉条纹移动数目为N：\(d=N\frac{\lambda}{2}\)

多层薄膜系统

• 增透膜/高透膜/低膜：
  • 折射率介于两介质之间
  • 光学厚度：

\[ ne=(2k+1)\frac{\lambda_0}{4} \]

• 增反膜/高反射膜/高膜：
  • 折射率大于两介质
  • 光学厚度：

\[ ne=(2k-1)\frac{\lambda_0}{4} \]

&13.7 单缝衍射

惠更斯-菲涅尔原理

波阵面上每一面元都可以看成是新的次波波源，它们发出次波，在空间某点的振动则是所有这些次波在该点所产生振动的叠加

衍射分类

• 菲涅尔衍射：光源有限远，光屏有限远
• 夫琅禾费衍射：光源、光屏无线远

夫琅禾费衍射

• 明条纹：
  • 中央明纹角宽度：\(2\frac{\lambda}{a}\)
    • 线宽度：\(2f\frac{\lambda}{a}\)
  • 明条纹/暗条纹角宽度：\(\frac{\lambda}{a}\)

\[ a\sin\varphi=(2k+1)\frac{\lambda}{2},\quad k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,··· \]

• 暗条纹：

\[ a\sin\varphi =2k\frac{\lambda}{2},\quad k=\pm 1,\pm 2,\pm 3,··· \]

• 衍射光谱：条纹角宽度正比于\(\lambda/a\)，各色明纹按波长展开

&13.8 光栅衍射

• 光栅常数：\(d=a+b\)
• 光栅衍射应看成是每一缝的衍射和各缝间干涉相叠加的总效果

条纹分布

• 主极大（光栅方程）：\((a+b)\sin\varphi=\pm k\lambda,\quad k=0,1,2,···\)
• 暗条纹：\(N-1\)条，\(N\delta=N(a+b)\sin\varphi=\pm m\lambda\)
• 次极大：\(N-2\)条
• 缺级：\(k/k'=\pm d/a,\quad k'=1,2,3,···\)

&13.9 光学仪器的分辨能力

• 艾里斑半角宽：\(\theta_0=1.22\frac{\lambda}{d}\)
• 瑞利判据：点像第一个暗环与另一个点像的最亮处重合，则刚好能分辨
• 最小分辨角_\(\delta \theta\)（倒数为分辨本领/分辨率\(R\)）：

\[ R=\frac{1}{\delta \theta}=\frac{d}{1.22\lambda} \]

&13.10 X射线衍射

x射线产生

• 热阴极：发射电子的电极
• 对阴极：与发射电子碰撞并对撞产生x射线的电极

晶体衍射

• 劳厄斑：由晶面点阵反射产生的对称性干涉斑点图像
• 布拉格条件：\(2d\sin\varphi=k\lambda,\quad k=1,2,3,···,\quad d为晶面间距\)

&13.11 偏振光与自然光

偏振光分类

• 线偏振光：光矢量只沿一个方向
• 椭圆偏振光：光矢量端点围成圆
• 圆偏振光：光矢量端点围成椭圆

马吕斯定率

\[ I_2=I_1\cos^2\alpha \]

&13.13 反射和折射时光的偏振

布儒斯特角

• 反射光呈线偏振光，振动垂直于入射面

\[ \tan i_0=\frac{n_2}{n_1} \]

&13.14 双折射现象

两种折射光

• 寻常光（o光）：遵守折射定律
• 非寻常光（e光）：不遵守折射定律且一般该光束也不在入射面

光轴与主截面

• 光轴：沿晶体这个方向传播的 光不发生双折射

• 主截面：包含光轴与入射平面法线的平面

  • 两类光为完全偏振光，振动方向垂直
  • o光振动方向与主截面垂直
  • e光振动方向与主截面平行

  入射光与主截面呈\(\theta\)角时：两光强度比=\(I_o/I_e=\sin^2 \theta/\cos^2 \theta\)

单轴晶体分类

• 正晶体：\(n_o<n_e\)
• 负晶体：\(n_o>n_e\)

偏振棱镜

• 原理：根据两光折射率不同使某光全反射，另一光透射达到分光效果
• 出射光为线偏振光
• 尼科尔棱镜：方解石+树胶，不适用于紫外线
• 格兰-傅科棱镜：方解石+空气

&13.15 玻片

1/4玻片：使o光与e光产生λ/4光程差

\[ d_{min}=\frac{\lambda}{4(n_0-n_e)} \]

1/2玻片(半玻片)：使o光与e光产生λ/2光程差

\[ d_{min}=\frac{\lambda}{2(n_0-n_e)} \]