堆排序也是一种较为常用的排序算法。它是基于对的优先队列来实现的。要学习堆排序，就要学习优先队列，以及堆的特性。
优先队列
在很多的应用场景中，我们需要数据有序，但不需要它们全部有序，或者是不需要它们一次性有序，有序的数据时慢慢的被需要。
比如：某些事件系统中，事件有优先级。程序在处理事件时，只需要知道当前优先级最高的事件是哪个，而不用去关心排队的所有事件的顺序是什么样的。
优先队列支持两种操作：
- 删除最大(或最小)的元素
- 插入元素
依据上面的特性，我们通过将一列元素放入优先队列，并一个个删除最小的元素，就可以实现一个排序算法。堆排序这个算法就是基于堆的优先队列来实现的。
优先队列是一组接口定义，它的实现可以有很多种。我们简单介绍一下它的接口，然后介绍一下基础的实现和基于堆的实现。
接口
- 插入元素
- 删除并获取最大(最小）元素
- 队列是否为空
实现
各种实现的复杂度对比：
| 实现方式 | 插入复杂度 | 删除复杂度 |
|---|---|---|
| 有序数组 | N | 1 |
| 无需数组 | 1 | N |
| 堆 | lgN | lgN |
| 理想状态 | 1 | 1 |
数组实现
1. 有序实现
- 插入新元素的时候，将比它大的元素向后移动一格（和插入排序一样）。这样每一次插入之后都能保证数组是有序的。
- 删除元素时，删除最后一个即可。
2. 无序实现
- 插入新元素的时候，插在队列的末尾。
- 删除元素是，运行一个循环，从所有的数中找到最大的数并删除。
堆实现
数据结构二叉堆能够很好的实现优先队列的基本操作。
定义
当一颗二叉树，每一个节点的值都大等于（或小等于）它的子节点时，我们称这个二叉树为堆有序。
二叉堆是一组能够用堆有序的完全二叉树。
完全二叉树可以用数组就表示出来，而不用指针链表等结构。将二叉树的节点按照层级顺序放入到数组中即可，如：根节点放在位置1，子节点的位置放在2，3，子节点的子节点放在4、5 和 6、7，以此类推。
用数组存放二叉堆符合一个规则（假设根节点在 1），当节点的位置在 k 时，他的父节点是 k/2，他的子节点时 2k 和 2k+1。
Tips：这里并没有使用数组 0 的位置。当然可以使用，但会让子节点和父节点的计算看起来不那么直观。而且在实际的应用中，0节点可以用作哨兵，解决很多循环中的判断问题。
父节点为： (k-1)/2；子节点：2k+1，2k+2；
以这样的规则，就可以把一颗二叉树放在一个数组当中，像是下图演示的这样：

当根节点是最大值的二叉堆，被称为最大堆；反之，称为最小堆。
在这里，我们讨论最大堆。
堆的算法
在堆的操作中，有两个操作是最底层的操作：
- 如果一个新节点加入了堆底，堆的有序性就被破坏了，我们需要从下到上恢复堆的有序性，这个操作一般叫做 heap_swim(意思是：堆元素上浮）
- 如果根节点的元素被替换成了较小的元素，我们需要从上到下的恢复堆的有序性，这个操作一般叫做 heap_sink(意思是：堆元素下沉）
堆的其他操作都依赖于这两个操作。我们先了解这两个，剩下的就简单多了。
从上到下堆有序化
把要移动的节点称为 k。
算法过程：
- 将 k 同它的两个子节点中较大的比较，如果小于子节点则与子节点交换位置
- 重复上面的步骤，直到 它的子节点都比他小
- 堆有序
如下图：

实现如下：
void _heap_sink(int *a, int len, int k){
while( 2*k <= len){
int j = 2*k;
if (j < len && a[j] < a[j+1]) ++j;
if (a[k] >= a[j]) break;
swap(a, k, j);
k = j;
}
}
从下到上堆有序化
把要移动的节点称为 k。
算法过程：
- 将 k 同它的父节点比较，如果大于父节点，则和父节点交换位置
- 重复上面的步骤，直到 它的父节点大于它
- 堆有序
如下图：

void _heap_swim(int *a, int len, int k){
while(k > 1 && a[k/2] < a[k]){
swap(a, k/2, k);
k = k/2;
}
}
堆初始化
将一个已有的乱序数组，初始化为堆有序是非常简单的。有两种方法：
第一种使用_heap_swim,从左到右扫描一遍数组即可。将数组的每个数组都做一个上浮堆有序，则当扫描结束时，堆有序就完成了。
第二种可以减少一些操作。使用_heap_sink扫描从右到左一半的元素即可。因为我们可以跳过大小为1的子堆。
Tips: 根据完全二叉树的特性。假设节点总数是 N, 当N为奇数；则叶子节点数为： N/2,如果N为偶数，则叶子节点数为： N/2+1。所以，不管N为奇数或偶数，非叶子节点的个数为 N/2。
实现如下：
```cpp
void heap_init(int *a, int len){
for(int k = len /2; k >= 1; k--){
_heap_sink(a, len, k);
}
}
```
堆插入元素
参数 cap 表明了队列能承载的最多元素个数
参数 len 表明了队列当前的长度
int heap_insert(int *a, int len, int cap, int v){
if (len +1 > cap) {
return len;
};
a[len+1] = v;
_heap_swim(a, len, len+1);
return len+1;
}
堆删除最大的元素
删除并返回了堆中最大的元素值。此时队列的长度应该减一。
int heap_del_max(int *a, int len) {
int tmp = a[1];
swap(a, 1, len);
_heap_sink(a, len-1, 1);
return tmp;
}
堆排序
上面，我们介绍了优先队列的含义及接口。还仔细介绍了堆实现的优先队列。依靠上面的知识，再来做堆排序就非常简单了。
如果我们将一个无序的数组初始化成了一个最大堆，这样，我们每次从堆中去除元素就是有序的了（从大到小）。我们再将取出的元素从右到左放回到数组中，是不是就排好序了呢？
实现起来也非常简单：
void heap_sort(int *a, int len)
heap_init(a, len);
for(int i = len; i > 0; --i){
heap_del_max(a, i);
}
}
这里有一个小技巧：我们并不需要再给原数组赋值，因为在我们的heap_del_max将最大的数交换到了队列的末尾，正好满足我们的需求。
结尾
堆排序其实非常简单。它最难的地方在于理解二叉堆，理解二叉堆又要理解二叉树。篇幅的限制，这里没有展开讲二叉树的特性，在后续的文章中，会详细讲出二叉树的特性。
作者和出处(reposkeeper) 授权分享 By CC-SA 4.0
关注微信公众号，获取新文章的推送！
