堆排序
1.堆排序百度百科简介
堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大根堆和小根堆，是完全二叉树
2.什么是堆
根据《Data Structures and Algorithm Analysis in C》(中文译名：《数据结构与算法分析》）和百度百科的相关资料，堆必须同时具备两个特性：1、结构性；2）堆序性。
2.1 结构性
堆是一棵完全二叉树，所谓完全二叉树即叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。
2.2 堆序性
父节点中的元素不小于（或不大于）任意子节点的元素 ,所以堆分为大根堆和小根堆
图解：
将大根堆逻辑结构映射到数组中图解：
所以我们就可以称这个数组从逻辑上来讲就是一个堆结构，这种逻辑结构总结公式描述为：
大根堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]
小根堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]
3.堆排序的实现（大根堆实现）
3.1 思想实现
大根堆有一个很好的性质，根节点的数值总是大于其他所有节点的数值，利用这个性质，可以实现排序的工作。堆排序的步骤可以描述如下：
1.构建大根堆。首先我们的原始数组一般情况下是不满足堆的条件，既然我们要可用大根段的性质进行排序，第一步当然是对原始数组进行处理，构建大根堆。
2.根节点数据处理以及大根堆重构。构建了大根堆之后，根节点的数据是最大值，将该数值与数组最后一个进行数据交换，然后对剩下的元素重构大根堆，这时根节点是剩下元素的最大值，取出。只要不断重复上述的操作，不断取出未排序元素的最大值，直到未排序的元素只剩一个，就完成了排序工作。
3.2 实现图解
3.2.1 一个例子的gif图解
3.2.2 详细举例
下面演示将数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}转换为最大{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}的步骤。
第一步：构建大根堆
1.i=11/2-1，即i=4
上面是maxHeapDown(a, 4, 9)调整过程。maxHeapDown(a, 4, 9)的作用是将a[4…9]进行下调；a[4]的左孩子是a[9]，右孩子是a[10]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[10])和a[4]交换。
注：maxHeapDown为最大堆的向下调整算法 ，下面代码实现中定义的方法！
2.i=3
上面是maxHeapDown(a, 3, 9)调整过程。maxHeapDown(a, 3, 9)的作用是将a[3…9]进行下调；a[3]的左孩子是a[7]，右孩子是a[8]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[8])和a[4]交换。
3.i=2
上面是maxHeapDown(a, 2, 9)调整过程。maxHeapDown(a, 2, 9)的作用是将a[2…9]进行下调；a[2]的左孩子是a[5]，右孩子是a[6]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[5])和a[2]交换。
4.i=1
上面是maxHeapDown(a, 1, 9)调整过程。maxHeapDown(a, 1, 9)的作用是将a[1…9]进行下调；a[1]的左孩子是a[3]，右孩子是a[4]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[3])和a[1]交换。交换之后，a[3]为30，它比它的右孩子a[8]要大，接着，再将它们交换。
5.i=0
上面是maxHeapDown(a, 0, 9)调整过程。maxHeapDown(a, 0, 9)的作用是将a[0…9]进行下调；a[0]的左孩子是a[1]，右孩子是a[2]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[2])和a[0]交换。交换之后，a[2]为20，它比它的左右孩子要大，选择较大的孩子(即左孩子)和a[2]交换。
调整完毕，就得到了最大堆。此时，数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}也就变成了{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}。
第二步：交换数据
在将数组转换成最大堆之后，接着要进行交换数据，从而使数组成为一个真正的有序数组。
交换数据部分相对比较简单，下面仅仅给出将最大值放在数组末尾的示意图。
上面是当n=10时，交换数据的示意图。
当n=10时，首先交换a[0]和a[10]，使得a[10]是a[0…10]之间的最大值；然后，调整a[0…9]使它称为最大堆。交换之后：a[10]是有序的！
当n=9时， 首先交换a[0]和a[9]，使得a[9]是a[0…9]之间的最大值；然后，调整a[0…8]使它称为最大堆。交换之后：a[9…10]是有序的！
…
依此类推，直到a[0…10]是有序的。
4.java代码实现
public class HeapSort {
/*
* (最大)堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
public static void maxHeapDown(int[] a, int start, int end) {
// 当前(current)节点的位置
int c = start;
// 左(left)孩子的位置
int l = 2*c + 1;
// 当前(current)节点的大小
int tmp = a[c];
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) {
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] < a[l+1]) {
l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
}
if (tmp >= a[l]) {
break; // 调整结束
} else { // 交换值
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从小到大)
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
public static void heapSortAsc(int[] a, int n) {
int i,tmp;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
maxHeapDown(a, i, n-1);
}
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--) {
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。
maxHeapDown(a, 0, i-1);
}
}
/*
* (最小)堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
* 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
* end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
public static void minHeapDown(int[] a, int start, int end) {
// 当前(current)节点的位置
int c = start;
// 左(left)孩子的位置
int l = 2*c + 1;
// 当前(current)节点的大小
int tmp = a[c];
for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) {
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if ( l < end && a[l] > a[l+1]) {
l++; // 左右两孩子中选择较小者
}
if (tmp <= a[l]) {
break; // 调整结束
} else { // 交换值
a[c] = a[l];
a[l]= tmp;
}
}
}
/*
* 堆排序(从大到小)
*
* 参数说明：
* a -- 待排序的数组
* n -- 数组的长度
*/
public static void heapSortDesc(int[] a, int n) {
int i,tmp;
// 从(n/2-1) --> 0逐次遍历每。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
minHeapDown(a, i, n-1);
}
// 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素
for (i = n - 1; i > 0; i--) {
// 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最小的。
tmp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = tmp;
// 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最小堆。
// 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。
minHeapDown(a, 0, i-1);
}
}
public static void main(String[] args) {
int i;
int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};
System.out.printf("堆排序前：");
for (i=0; i<a.length; i++) {
System.out.printf("%d ", a[i]);
}
System.out.printf("\n");
// 升序排列
heapSortAsc(a, a.length);
// 降序排列
//heapSortDesc(a, a.length);
System.out.printf("堆排序后：");
for (i=0; i<a.length; i++) {
System.out.printf("%d ", a[i]);
}
System.out.printf("\n");
}
}
运行结果：
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