leetcode 43. 字符串相乘（Java版）

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题目描述（题目难度，中等）

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

示例 1:
输入: num1 = “2”, num2 = “3”
输出: “6”

示例 2:
输入: num1 = “123”, num2 = “456”
输出: “56088”

说明：

num1 和 num2 的长度小于110。
num1 和 num2 只包含数字 0-9。
num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。
不能使用任何标准库的大数类型（比如 BigInteger）或直接将输入转换为整数来处理。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/multiply-strings
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题目求解

下图以 99x999 为例，展示了模拟竖式计算的过程：
在这里插入图片描述
可以看到和我们自己手工竖式计算还是有区别的，一是我们习惯于右对齐，从右到左运算（这个其实无所谓，只要把任意两位的积累加到对应位置，无论按什么顺序都可以），二是我们习惯在列竖式时提前进位好，而编码时，不需要提前进位，最后统一进位即可。
虽说一个 m 位的数乘一个 n 位的数，乘积最多有 m+n 位。理论上应该申请长度为 m+n 的数组，但最高位其实已经没必要再往前进位了，所以申请长度为 m+n-1 的数组就够用了。
参考代码如下：

class Solution {
    public String multiply(String num1, String num2) {
    	if(num1.equals("0") || num2.equals("0")) return "0";
    	int m = num1.length();
    	int n = num2.length();
    	int[] mul = new int[m+n-1]; // 元素默认值为 0
    	for(int i = 0; i < m; ++i) { // 竖式运算
    		for(int j = 0; j < n; ++j) {
    			int vi = num1.charAt(i) - 48;
    			int vj = num2.charAt(j) - 48;
    			mul[i+j] += vi*vj;
    		}
    	}
    	for(int i = m+n-2; i > 0; --i) { // 进位
    		mul[i-1] += mul[i]/10;
    		mul[i] %= 10;
    	}
    	StringBuilder result = new StringBuilder();
    	for(int i = 0; i < m+n-1; ++i) { // 结果拼接为字符串
    		result.append(mul[i]);
    	}
        return result.toString();
    }
}

假如两个大整数位数相同，都为 n，上面这个算法的时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

Python对于大数相乘的实现使用的是卡拉祖巴(Karatsuba)算法，是一种分治算法，时间复杂度为 $O(n^{{\log_2}^3})$ 约等于 $O(n^{1.58})$ 。

下面简单介绍一下大数相乘的分治法：
在这里插入图片描述
$A=A_1\cdot10^{\frac{n}{2}}+A_2,B=B_1\cdot10^{\frac{n}{2}}+B_2$

$A\cdot B=(A_1\cdot10^{\frac{n}{2}}+A_2)\cdot(B_1\cdot10^{\frac{n}{2}}+B_2)=A_1B_110^n+(A_1B_2+A_2B_1)10^{\frac{n}{2}}+A_2B_2$

上面未做任何特殊处理，将原式分解为了 $A_1B_1,A_1B_2,A_2B_1,A_2B_2$ 四次乘法运算。

但由于 $A_1B_2+A_2B_1=(A_1+A_2)\cdot(B_1+B_2)-A_1B_1-A_2B_2$

所以 $A\cdot B=A_1B_110^n+[(A_1+A_2)\cdot(B_1+B_2)-A_1B_1-A_2B_2]10^{\frac{n}{2}}+A_2B_2$

可以看到原本的四次乘法运算变成了 $A_1B_1,A_2B_2,(A_1+A_2)\cdot(B_1+B_2)$ 三次乘法运算。

现在的时间复杂度为： $T(n)=3T(\frac{n}{2})+\theta(n)$ ，根据主定理可得 $T(n)=O(n^{{\log_2}^3})$ 。

同样的道理，如果 A，B 位数不同，同样有下式成立：
$A\cdot B$
$=(A_1\cdot10^{\frac{m}{2}}+A_2)\cdot(B_1\cdot10^{\frac{n}{2}}+B_2)$
$=A_1B_110^{\frac{m+n}{2}}+A_1B_210^{\frac{m}{2}}+A_2B_110^{\frac{n}{2}}+A_2B_2$
$=2A_1B_110^{\frac{m+n}{2}}+2A_2B_2+(A_1\cdot10^{\frac{m}{2}}-A_2)\cdot(B_2-B_1\cdot10^{\frac{n}{2}})$

C++ 的大数相乘是用 FFT（快速傅里叶变换）实现的，可以将大数相乘的时间复杂度优化到 $O(n\log n)$ 。FFT 有点复杂，大家感兴趣的可以去搜一下，网上资料也挺多的。