LeetCode 43. 字符串相乘 **

给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。

示例 1:

测试用例

示例：

输入: num1 = “3”, num2 = “4”
输出: “12”

说明：

1. num1 和 num2 的长度小于110。
2. num1 和 num2 只包含数字 0-9。
3. num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。
4. 不能使用任何标准库的大数类型（比如 BigInteger）或直接将输入转换为整数来处理。

解题思路

乘法
令 m 和 n 分别表示 num1 和num2 的长度，并且它们均不为 0，则 num1 和 num2 的乘积的长度为$m+n-1$ 或 $m+n$。简单证明如下：

• 如果 $nu{m}_1$ 和 $nu{m}_2$ 都取最小值，则$nu{m}_1=10^{m-1}$，$nu{m}_2=10^{n-1}$，$nu{m}_1\ast nu{m}_2=10^{m+n-2}$。乘积的长度为 $m+n-1$；
• 如果 $num1$ 和 $num2$ 都取最大值，则$nu{m}_1=10^m-1$，$nu{m}_2=10^n-1$，$nu{m}_1\ast nu{m}_2=10^{m+n}-10^m-10^n+1$。乘积显然小于 $10^{m+n}$且大于 $10^{m+n-1}$，因此乘积的长度为 $m+n$。

由于 $num1$ 和 $num2$ 的乘积的最大长度为 $m+n$，因此创建长度为 $m+n$ 的数组 $arr$ 用于存储乘积。对于任意 $0\le i<m$ 和 $0\le j<n$，$nu{m}_1[i]\ast nu{m}_2[j]$ 的结果位于 $arr[i+j+1]$，如果 $arr[i+j+1]\ge 10$，则将进位部分加到 $arr[i+j]$。

最后，将数组 $arr$ 转成字符串，如果最高位是 0 则舍弃最高位。

Code

class Solution {
    
    
    public String multiply(String num1, String num2) {
    
    
        if (num1.equals("0") || num2.equals("0")) {
    
    
            return "0";
        }
        int m = num1.length(), n = num2.length();
        int[] arr = new int[m + n];
        for (int i = m - 1; i >= 0 ; i--) {
    
    
            int x = num1.charAt(i) - '0';
            for (int j = n - 1; j >= 0; j--) {
    
    
                int y = num2.charAt(j) - '0';
                arr[i + j + 1] += x * y;
            }
        }
        for (int i = m + n - 1; i > 0 ; i--) {
    
    
            arr[i - 1] += arr[i] / 10;
            arr[i] = arr[i] % 10;
        }
        int index = arr[0] == 0 ? 1 : 0;
        StringBuffer str =new StringBuffer();
        while (index < m + n){
    
    
            str.append(arr[index]);
            index++;
        }
        return str.toString();
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(mn)$，其中 m 和 n 分别是 $nu{m}_1$ 和 $nu{m}_2$ 的长度。需要计算 $nu{m}_1$的每一位和 $nu{m}_2$ 的每一位的乘积。

• 空间复杂度：$O(m+n)$，其中 m 和 n 分别是$nu{m}_1$ 和 $nu{m}_2$ 的长度。需要创建一个长度为 $m+n$ 的数组存储乘积。

解法2

模拟「竖式乘法」的方法计算乘积

class Solution {
    
    
    //string multiply
    public String multiply(String num1, String num2) {
    
    
        if (num1.equals("0") || num2.equals("0"))
            return "0";
        String result = "0";
        int m = num1.length(), n = num2.length();
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    
    
            int e2 = num2.charAt(i) - '0';
            StringBuffer str = new StringBuffer();
            //补零
            for (int p = 0; p < n - 1 - i; p++) {
    
    
                str.append("0");
            }
            int carry = 0;
            for (int j = m - 1; j >= 0 || carry != 0; j--) {
    
    
                int e1 =  j < 0 ? 0 : num1.charAt(j) - '0';
                int temp = e1 * e2 + carry;
                str.append(temp % 10);
                carry = temp / 10;
            }
            result = addStrings(result, str.reverse().toString());
        }
        return result;
    }
    //string sum
    public String addStrings(String num1, String num2) {
    
    
        int m = num1.length(), n = num2.length(), carry = 0;
        StringBuffer answer = new StringBuffer();
        while (m > 0 || n > 0 || carry != 0) {
    
    
            int x = m > 0 ? num1.charAt(m - 1) - '0' : 0;
            int y = n > 0 ? num2.charAt(n - 1) - '0' : 0;
            int temp = x + y + carry;
            answer.append(temp % 10);
            carry = temp / 10;
            m--;
            n--;
        }
        return answer.reverse().toString();

    }
}