现代无穷小微积分为什么叫模型论微积分？
在上世纪50年代，美国数学家塔尔斯基主持世界知名的模型论研讨班，使用形式化语言精密地分析现代数学内容，据此，创建了数理逻辑模型论，使得数学研究进入了一个新阶段。
在此期间，我们处于“文革”阶段，数学界顾不上这些进展。直到1978年，党的十一届三中全会召开，改革开放之后，西方先进数学思想逐渐传入我国，数学公理化方法渐渐被人们所接受。
1978年，中国科学院计算机研究所郑锦文研究员主持数理逻辑讨论班，中国人民大学袁萌在此讨论班上报告模型论及其在微积分学中的应用，主张简化微积分，使其下放中学。
2012年11月，党的十八大之后，袁萌重新鼓起勇气，科普模型论微积分，至今发表博文近2000篇，科普现代微积分不松劲。党的十九大之后，“无穷小微积分”网站上线，加大科普微积分力度。
说明：无穷小微积分网站的网址是：www.wqxwjf.com。
袁萌 7月9日
附：无穷小微积分的转移公理
经过5年的努力，无穷小微积分放飞互联网计划已经初见成效。上网用百度搜索关键词“无穷小微积分”，在相关搜索结果中即可见分晓。
大家知道，无穷小微积分是公理化构成的，其中有一条重要公理叫“转移公理”（TransferAxiom）。什么是转移公理？有什么重要性？
2013年3月3日，老翁发表短文，可以一阅如下：
袁萌 12月1日
关于无穷小微积分的转移（Transfer）公理(发表于：2013年3月3日)
为严格地定义导数与微分，我们把无穷小（一种超实数）引进微积分就算万事大吉了？非也。为什么？
我们提出一个问题：在引入超实数*R之后，微积分学变成了什么样子？也就是说，传统微积分学的原有概念与定理是不是还适用（或成立）？我们能否做到这样一件事情：一个传统微积分定理，当实数系R扩充到超实数*R之后，仍然能够成立？甚至更准确地说，该定理在R中成立的充分必要条件是其在*R中也成立？如果我们能够做到这一点，那么，这种做法有什么好处（或意义）呢？归根到底一句话：超实数*R有没有必要引入到微积分呢？
在R扩充到*R之后，我们假定整个微积分学的理论体系不变。那么，我们要问：同一个微积分学定理，在超实数系*R里面的证明是不是要比在传统实数系R里面的证明更为简单易懂？或者，在直观上更有诱惑力？更容易被人们所接受？实际上，在没有完全展开无穷小微积分之前，谁也无权对此妄加评论。
在《基础微积分》电子版到第一章第1.5节第28页，为达此目的，J.Keisler引进两条模型论（Model Theory）公理（Axioms）：一是延伸公理（Extension Axiom，简记为EA），二是转移公理（Transfer Axiom，简记为TA）。EA是说，任何实函数f都存在一个相应的超实函数*f与其对应，*f叫做函数f的“自然延伸”(Natural Extension)；而TA是说，任何陈述句（Statement）在R中成立，那么，该陈述句在*R中也必定成立。为准确理解转移公理（TA），我们要问，什么是陈述句？这是问题的关键。
在传统微积分学中，大家熟悉解析表达式的概念。一般而言，将两个表达式用等号或不等号连接起来就成为一个陈述句，例如：x+y=y+x，xy=yx，Sin(x)< x(当x>0)，等等。由此，我们不难想象，传统微积分学的”理论“是怎样转移到超实数系*R上了。但是，我们要注意的是，在*R中，陈述句中的各个运算符都需要在其左上角加上一个星号”*“，各个函数的左上角也要加上一个星号”*“，意义发生了相应的变化。我们约定，在转移到超实数系*R之后，有意省去所有的”星号“，希望不会发生”误会“，做到”心中有数“不转向。
微积分学的一个基本问题就是求函数f的变化率（平均值），也就是比值：∆y/∆x，这里f(x) = y。在R中，我们只能说，当∆x无限趋近于零（但不等于零）时，变化率∆y/∆x的极限（limit）。但是，什么叫”无限趋近于零“，就很难说得清楚，比较费解了。如果我们转移到*R中，让∆x变为无穷小（但是不等于零），事情就好说了。也就是说，当x无限趋近于某个实数a时，存在一个瞬间的阶段，在这个瞬间，差值∆x是无穷小，这比较符合我们的直觉（也符合哥西的导数定义）。这两个无穷小的比值所无限接近的那个实数就是函数f在这里的瞬间”变化率“（所谓“导出数”）。无穷小就是那种”足够的小以至于可以略去不计“的超实数。不过，这种说法只有在超实数系*R架构中才有意义。实际上，微积分学有两套，一套是传统的微积分，一套是无穷小微积分，两者”形影不离“，只不过后者更加符合我们的直觉与思维习惯而已。
袁萌 2013年3月3日
（全文完）