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写在前面
梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使用的数学工具（梯度下降算法），虽然常说常听常见，但其细节、物理意义以及几何解释还是值得深挖一下，这些不清楚，梯度就成了“熟悉的陌生人”，仅仅“记住就完了”在用时难免会感觉不踏实，为了“用得放心”，本文将尝试直观地回答以下几个问题，
- 梯度与偏导数的关系？
- 梯度与方向导数的关系？
- 为什么说梯度方向是上升最快的方向，负梯度方向为下降最快的方向？
- 梯度的模有什么物理意义？
- 等高线图中绘制的梯度为什么垂直于等高线？
- 全微分与隐函数的梯度有什么关系？
- 梯度为什么有时又成了法向量？
闲话少说，书归正传。在全篇“作用域”内，假定函数可导。
偏导数
在博文《单变量微分、导数与链式法则 博客园 | CSDN | blog.shinelee.me》中，我们回顾了常见初等函数的导数，概括地说，
导数是一元函数的变化率（斜率）。导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。
如果是多元函数呢？则为偏导数。
偏导数是多元函数“退化”成一元函数时的导数，这里“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留一个变量，依次保留每个变量，则\(N\)元函数有\(N\)个偏导数。
以二元函数为例，令\(z=f(x,y)\)，绘制在3维坐标系如下图所示，
在分别固定\(y\)和\(x\)的取值后得到下图中的黑色曲线——“退化”为一元函数，二维坐标系中的曲线——则偏导数\(\frac{\part{z}}{\part{x}}\)和\(\frac{\part z}{\part y}\)分别为曲线的导数（切线斜率）。
由上可知，一个变量对应一个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）。
方向导数
如果是方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？则为方向导数。如下图所示，点\(P\)位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率，来自链接Directional Derivative
方向导数为函数在某一个方向上的导数，具体地，定义\(xy\)平面上一点\((a, b)\)以及单位向量\(\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )\)，在曲面\(z=f(x, y)\)上，从点\((a,b, f(a,b))\)出发，沿\(\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )\)方向走\(t\)单位长度后，函数值\(z\)为\(F(t)=f(a+t \cos \theta, b + t \sin \theta)\)，则点\((a,b)\)处\(\vec u = (\cos \theta ,\sin \theta )\)方向的方向导数为：
\[ \begin{aligned} &\left.\frac{d}{d t} f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta)\right|_{t=0} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t \cos \theta, b+t \sin \theta) - f(a, b+t \sin \theta)}{t} + \lim _{t \rightarrow 0} \frac{f(a, b+t \sin \theta) - f(a, b)}{t} \\=& \frac{\partial}{\partial x} f(a, b) \frac{d x}{d t}+\frac{\partial}{\partial y} f(a, b) \frac{d y}{d t} \\=& f_x (a, b) \cos \theta+ f_y (a, b) \sin \theta \\=&\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \end{aligned} \]
上面推导中使用了链式法则。其中，\(f_x (a, b)\)和\(f_y (a, b)\)分别为函数在\((a, b)\)位置的偏导数。由上面的推导可知：
该位置处，任意方向的方向导数为偏导数的线性组合，系数为该方向的单位向量。当该方向与坐标轴正方向一致时，方向导数即偏导数，换句话说，偏导数为坐标轴方向上的方向导数，其他方向的方向导数为偏导数的合成。
写成向量形式，偏导数构成的向量为\(\nabla f(a, b) = (f_x (a, b), f_y (a, b))\)，称之为梯度。
梯度
梯度，写作\(\nabla f\)，二元时为\((\frac{\part{z}}{\part{x}}, \frac{\part{z}}{\part{y}})\)，多元时为\((\frac{\part{z}}{\part{x}}, \frac{\part{z}}{\part{y}},\dots)\)。
我们继续上面方向导数的推导，\((a,b)\)处\(\theta\)方向上的方向导数为
\[ \begin{aligned} &\left(f_x (a, b), f_y (a, b)\right) \cdot(\cos \theta, \sin \theta) \\ =& |((f_x (a, b), f_y (a, b))| \cdot |1| \cdot \cos \phi \\=& |\nabla f(a,b)| \cdot \cos \phi \end{aligned} \]
其中，\(\phi\)为\(\nabla f(a,b)\)与\(\vec u\)的夹角，显然，当\(\phi = 0\)即\(\vec u\)与梯度\(\nabla f(a,b)\)同向时，方向导数取得最大值，最大值为梯度的模\(|\nabla f(a,b)|\)，当\(\phi = \pi\)即\(\vec u\)与梯度\(\nabla f(a,b)\)反向时，方向导数取得最小值，最小值为梯度模的相反数。此外，根据上面方向导数的公式可知，在夹角\(\phi < \frac{\pi}{2}\)时方向导数为正，表示\(\vec u\)方向函数值上升，\(\phi > \frac{\pi}{2}\)时方向导数为负，表示该方向函数值下降。
至此，方才有了梯度的几何意义：
- 当前位置的梯度方向，为函数在该位置处方向导数最大的方向，也是函数值上升最快的方向，反方向为下降最快的方向；
- 当前位置的梯度长度（模），为最大方向导数的值。
等高线图中的梯度
在讲解各种优化算法时，我们经常看到目标函数的等高线图示意图，如下图所示，来自链接Applet: Gradient and directional derivative on a mountain，
图中，红点为当前位置，红色箭头为梯度，绿色箭头为其他方向，其与梯度的夹角为\(\theta\)。
将左图中\(z=f(x, y)\)曲面上的等高线投影到\(xy\)平面，得到右图的等高线图。
梯度与等高线垂直。为什么呢？
等高线，顾名思义，即这条线上的点高度（函数值）相同，令某一条等高线为\(z=f(x,y)=C\)，\(C\)为常数，两边同时全微分，如下所示
\[ \begin{aligned} dz = &\frac{\part f}{\part x} dx + \frac{\part f}{\part y} dy \\=& (\frac{\part f}{\part x}, \frac{\part f}{\part y}) \cdot (dx, dy) \\=& dC = 0\end{aligned} \]
这里，两边同时全微分的几何含义是，在当前等高线上挪动任意一个极小单元，等号两侧的变化量相同。\(f(x, y)\)的变化量有两个来源，一个由\(x\)的变化带来，另一个由\(y\)的变化带来，在一阶情况下，由\(x\)带来的变化量为\(\frac{\part f}{\part x} dx\)，由\(y\)带来的变化量为\(\frac{\part f}{\part y} dy\)，两者叠加为\(z\)的总变化量，等号右侧为常数，因为我们指定在当前等高线上挪动一个极小单元，其变化量为0，左侧等于右侧。进一步拆分成向量内积形式，\((\frac{\part f}{\part x}, \frac{\part f}{\part y})\)为梯度，\((dx, dy)\)为该点指向任意方向的极小向量，因为两者内积为0，所以两者垂直。自然不难得出梯度与等高线垂直的结论。
更进一步地，梯度方向指向函数上升最快的方向，在等高线图中，梯度指向高度更高的等高线。
隐函数的梯度
同理，对于隐函数\(f(x,y)=0\)，也可以看成是一种等高线。二元时，两边同时微分，梯度垂直于曲线；多元时，两边同时微分，梯度垂直于高维曲面。
即，隐函数的梯度为其高维曲面的法向量。
有了法向量，切线或切平面也就不难计算得到了。令曲线\(f(x , y)\)上一点为\((a,b)\)，通过全微分得该点的梯度为\((f_x, f_y)\)，则该点处的切线为\(f_x (x-a) + f_y (y-b) = 0\)，相当于将上面的微分向量\((dx, dy)\)替换为\((x-a, y-b)\)，其几何意义为法向量垂直切平面上的任意向量。
小结
至此，文章开篇几个问题的答案就不难得出了，
- 偏导数构成的向量为梯度；
- 方向导数为梯度在该方向上的合成，系数为该方向的单位向量；
- 梯度方向为方向导数最大的方向，梯度的模为最大的方向导数；
- 微分的结果为梯度与微分向量的内积
- 等高线全微分的结果为0，所以其梯度垂直于等高线，同时指向高度更高的等高线
- 隐函数可以看成是一种等高线，其梯度为高维曲面（曲线）的法向量
以上。