问题描述
01背包问题：有n个物品，每个物品有体积和价值两个属性，现在有一个固定容量的背包，要将这些物品放入背包内，使得背包内物品总价值最大，问要如何放？
注意：每个物品的数量为1。
设$V = 14$。
为了描述方便起见，我们用$c_1,c_2,c_3,....c_n$表示物品的体积， 用$w_1,w_2,w_3,....w_n$表示物品的价值，用$V$表示背包的容量，$n$表示物品的数量。
动态规划描述
背包问题是动态规划问题的一种，和分治算法一样，它是将一个大问题分成一个一个的小问题，然后找到大问题和小问题之间的递推式，将一个个小问题组合成大问题，
并且通常要求这些小问题也要达到最优。能用动态规划解决的问题一般含有两种性质：最优子结构和重叠子问题。动态规划从本质上讲就是穷举法， 但是它的却比一般的算法效率要高，
这就是因为它能剪去重叠的子问题，使得总体复杂度不那么高。
解决方法
1.递归方法
我们先从最容易入手的地方开始，用递归的方法来解这个问题。
首先对于每个物品，我们的选择只有两个：放或者不放。我们将所有的可能都穷举出来，就可以得到下面这个树状图（只画了前四个结点）：
这个树上每一个分支都只能选一个，每一行就代表一个子问题。我们用$F(i, v_i)$表示前$i$个物品放入背包内的最大价值（即最优方案），此时这个$v_i$指的是放入前$i$个物品后背包剩余的容量。
显而易见$F(5, v_5)$就是我们要解的大问题，分割一下子问题就是：$F(1, v_1)$, $F(2, v_2)$, $F(3, v_3)$, $F(4, v_4)$。要解决这个大问题，我们就得先解决它的前面一个子问题$F(4, v_4)$（求解原问题时子问题也要达到最优，所以该问题具有最优子结构，这是判断问题能否用动态规划解的条件之一）。
至于为什么解决$F(5, v_5)$问题之前要先解决$F(4, v_4)$，这是因为对于问题$F(5, v_5)$来说，如果解决了问题$F(4, v_4)$剩下就只需要判断最后一个物品体积是否比剩余背包容量大，是直接放入背包，否则就不放。
而对于子问题$F(4, v_4)$，我们得解决$F(3, v_3)$....从而得解决$F(1, v_1)$。对于子问题$F(1, v_1)$，由于它前面没有子问题，所以解决它只需要判断$c_1 \le V$是否成立。
所以对于每一个子问题，由于前面的子问题已被解决，因此我们都只需要做两个选择：放，还是不放。
假设我们已经知道了前$i-1$个物品放入背包的最优方案$F(i-1, v)$，那么对于第$i$个物品要放入背包就有三种情况：
若物品的体积$c_i$大于背包剩余的容量$v$，那么只能丢弃这个物品：
$F(i, v_i) = F(i-1, v_i-1)$
否则就有两种选择：
1. 不放第$i$个物品：
$F(i, v_i) = F(i-1, v_i-1)$
2. 放第$i$个物品：
$F(i, v_i) = w_i + F(i-1, v_i-1-c_i)$
要从这两个方案中选择总价值最大的，所以：
$$
F(i, v_i) =
\begin{cases}
F(i-1, v_{i-1}), & \text{ $c_i > v_{i-1}$ } \\
max(F(i-1, v_{i-1}), w_i +F(i-1, v_{i-1}-c_i)), & \text{ $c_i \le v_{i-1}$ }
\end{cases}
$$
用Python实现代码如下：
#递归求解 def rec_bag(c, w, v, i): ''' param c: 物品体积 param w: 物品价值 param v: 当前背包剩余容量 param i: 当前物品编号 return: 背包装下物品的最大价值 ''' if i > len(c)-1: return 0 elif v <= 0: #体积不能为负 return 0 elif v > 0: if c[i] <= v: A = w[i] + rec_bag(c, w, v-c[i], i+1) B = rec_bag(c, w, v, i+1) res = max(A, B)#两种方案中选最优的那个并返回 else: res = rec_bag(c, w, v, i+1)#物品体积大于背包容量，直接返回 return res
代码我没有测试过，如果有错误可以在评论区告诉我。
后面动态规划解法和另外两个问题有时间再补充。