【动态规划】--背包问题

o1背包问题：一个背包体积为V， 现有n个物品，第i个物品体积为w[i],价值为c[i]。问在不超出背包 容量前提下，背包 最多能装下多少价值的物品。

之所以叫01背包是因为这类题都可以归结为第i个物品 放还是不放问题。这里用二维数组表示（当然也可用一维）

若第i个物品放的话  f[i][v]=f[i-1][v-w[i]]+c[i](i表示第几个物品，v表示重量）

若不放的话f[i][v]=f[i-1][v]

转换方程：f[i][v] = max(f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+c[i])

下面分别是二维和一维数组模板

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100000
int w[M];
int v[M];
int f[M][M];
using namespace std;
int main(){
	int t,m;
	cin>>t>>m;
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>w[i]>>v[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=0;j+w[i]<=t;j++)
			f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j+w[i]]+v[i]);
	}
	int maxs=0;
	for(int i=0;i<=t;i++)
		maxs=max(f[m][i],maxs);
	cout<<maxs<<endl;
	return 0;
} 

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100000
int w[M];
int v[M];
int f[M];
using namespace std;
int main(){
	int W,m;
	memset(f,0,sizeof(f));
	cin>>W>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>w[i]>>v[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=W;j>=w[i];j--)
			f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
	cout<<f[W]<<endl;
	return 0;
} 

完全背包问题【模板】

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxm=2001,maxn=101;
int n,m,v,i;
int c[maxn],w[maxn];
int f[maxm];
int main()
{
    scanf("%d%d",&m,&n);            //背包容量m和物品数量n
    for(i=1;i<=n;i++) 
        scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(v=w[i]; v<=m; v++)          //设 f[v]表示重量不超过v公斤的最大价值
                                        //这里是v++ 顺序 区别于01背包 
            f[v]=max(f[v-w[i]]+c[i], f[v]);
    printf("%d\n", f[m]);           // f[m]为最优解
    return 0;
}

多重背包问题【模板】

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int v[10001],w[10001];
int f[6001];
int n,m,n1;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y,s,t=1;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&s);
        while (s>=t) 
        {
            v[++n1]=x*t;
            w[n1]=y*t;
            s-=t;
            t*=2;
        }
        v[++n1]=x*s;
        w[n1]=y*s;                             //把s以2的指数分堆：1，2，4，…，2^(k-1)，s-2^k+1,
    }
	for(int i=1;i<=n1;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
           f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); 
    printf("%d\n",f[m]);
    return 0;
}