POJ - 2533 Longest Ordered Subsequence （最长单调子序列）

题意：
求所给出长度为 N 的最长上升子序列长度
""思路：**

(1) \(O(n^2)\)的 动态转移：
设\(dp[i]\)表示以\(i\)结尾的最长单调子序列，那么当\(arr[i]>arr[j]时\) \(dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]) (j\in[1,i))\)

#include <bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
#define accept 0
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e3+7;
const int maxm = 1e6+7;
const int mod = 1e9+7;

int dp[maxn];
int arr[maxn];
int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&arr[i]);
            dp[i]  = 1;
        }
        
        int ans = -1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(arr[i]>arr[j]) dp[i] = max(dp[j]+1,dp[i]);
            }
            ans = max(ans,dp[i]);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return accept;
}

(2) \(O(n^2)\)
\(d[i] = 长度为i+1\)的递增子序列中末尾的最小值(不存在就是INF)
最开始用INF初始化dp数组的值，然后从前往后考虑数列的元素，对于每个\(a_j\)，如果\(i\) 处于第一个位置 或者\(a[j] >= a[i]，\)使得\(a[j] = a[i]\)并且\(break\)，最后第一个dp数组中值为INF的下标即为结果
实际上很类似单调栈，将数组依次后移，如果遇到比前面dp小的就将其放在dp第一个比该值大的前一位（实现单调栈类似的效果），但是长度仍然按照最长计算。
因为要使得子序列最长，从贪心的角度来想如果该序列足够长，我们尽量使每个递增的差值最小，这样就能排更多的值。

#include <bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
#define accept 0
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e3+7;
const int maxm = 1e6+7;
const int mod = 1e9+7;

int n;
int arr[maxn];
int dp[maxn];
int main() {
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&arr[i]);
        }
        for(int i=1;i<=maxn;i++){
            dp[i] = inf;
        }
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                if(i == 1|| dp[j] >= arr[i])  {
                    dp[j] = arr[i]; break;
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        while(dp[ans] != inf) ans++;
        printf("%d\n", ans-1);
    }
    return 0;
}

(3)\(O(nlogn)\)
从第二种方法就能看出来，对于查找部分，我们不必要再遍历比较，可以使用二分进行优化

#include <bits/stdc++.h>
#define IOS ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0);
#define accept 0
#define mp make_pair
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e3+7;
const int maxm = 1e6+7;
const int mod = 1e9+7;

int n;
int arr[maxn];
int dp[maxn];
int main() {
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&arr[i]);
            dp[i] = inf; 
        }
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            *lower_bound(dp+1,dp+n+1,arr[i]) = arr[i];
        }
        int ans = lower_bound(dp+1,dp+1+n,inf) - dp;
        printf("%d\n", ans-1);
    }
    return 0;
}