POJ 2533 - Longest Ordered Subsequence - [最长递增子序列长度][LIS问题]

题目链接：http://poj.org/problem?id=2533

Time Limit: 2000MS Memory Limit: 65536K

Description

A numeric sequence of  a_i is ordered if  a₁ <  a₂ < ... <  a_N. Let the subsequence of the given numeric sequence ( a₁,  a₂, ...,  a_N) be any sequence ( a_i1,  a_i2, ...,  a_iK), where 1 <=  i₁ <  i₂ < ... <  i_K <=  N. For example, sequence (1, 7, 3, 5, 9, 4, 8) has ordered subsequences, e. g., (1, 7), (3, 4, 8) and many others. All longest ordered subsequences are of length 4, e. g., (1, 3, 5, 8).

Your program, when given the numeric sequence, must find the length of its longest ordered subsequence.

Input

The first line of input file contains the length of sequence N. The second line contains the elements of sequence - N integers in the range from 0 to 10000 each, separated by spaces. 1 <= N <= 1000

Output

Output file must contain a single integer - the length of the longest ordered subsequence of the given sequence.

Sample Input

7
1 7 3 5 9 4 8

Sample Output

4

题意：

给定长度为 $N$ 的一串整数序列 $a[1 \sim N]$，求其最长上升子序列的长度。

注意：子序列可以不连续，要求严格单增。

题解：

$O(n \log n)$ 解法——贪心+二分。

构建一个栈 $S$ 和一个变量 $top$ 代表栈顶位置，该栈的代表：栈中的第 $i$ 个数 $S[i]$，是序列 $a$ 中，长度为 $i$ 的递增子序列的末尾元素。

初始化 S[top=1]=a[1] ，即将第一个数字入栈；这很好理解，到目前为止 $a[1]$ 自己是一个长度为 $1$ 的递增子序列。

遍历 $a[ i = 2 \sim N ]$：每次对于 $a[i]$，找出栈 $S[1 \sim top]$ 中第一个大于等于 $a[i]$ 的数的位置 $pos$，若不存在则返回 $pos=top+1$。

这是由于，若存在第一个大于等于 $a[i]$ 的数 $S[pos]$ ，说明对于长度为 $pos$ 的递增子序列，可以用 $a[i]$ 代替掉其原来的末尾元素 $S[pos]$，这样一来，依然是一个长度为 $pos$ 的递增子序列，而且该递增子序列被进一步“加长”的潜力增加。而如果栈中不存在大于等于 $a[i]$ 的数，这说明我可以在目前长度为 $top$ 的递增子序列后面加上一个 $a[i]$，那么我们就得到了一个以 $a[i]$ 为结尾的，长度为 $top+1$ 的递增子序列。

因此，我们把 $S[pos]$ 更新为 $a[i]$，并且尝试更新栈的大小 if(pos>top) top=pos;  。

由于栈 $S$ 中元素始终保持单调递增（而且栈内元素互不相等），所以找 $S$ 中第一个大于等于 $a[i]$ 的数可以使用二分查找。

AC代码（在OpenJudge百练提交）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+5;

int n;
vector<int> a;

int S[maxn],top;
int LIS(const vector<int>& a)
{
    S[top=0]=a[0];
    for(int i=0;i<a.size();i++)
    {
        int pos=lower_bound(S,S+top+1,a[i])-S;
        S[pos]=a[i], top=max(top,pos);
    }
    return top+1;
}

int main()
{
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int x; cin>>x;
        a.push_back(x);
    }
    cout<<LIS(a)<<endl;
}

PS.我们可以看到，求第一个大于等于 $a[i]$ 的数使用了lower_bound，相应的如果我们使用upper_bound会怎么样呢？不难证明，我们将会得到最长不下降子序列的长度。