一、定义
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 是一种统计方法。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。
在实际课题中，为了全面分析问题，往往提出很多与此有关的变量（或因素），因为每个变量都在不同程度上反映这个课题的某些信息。
主成分分析首先是由K.皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。
——《百度百科之“主成分分析”》
二、应用
主成分分析作为基础的数学分析方法，其实际应用十分广泛，比如人口统计学、数量地理学、分子动力学模拟、数学建模、数理分析、彩票学、投资组合风险管理等学科中均有应用，是一种常用的多变量分析方法。
将主成分分析与聚类分析、判别分析以及回归分析方法相结合，可解决更多的实际问题。通常结合BP神经网络进行数学建模，从而对某些实际问题进行求解。
三、主成分分析matlab程序
function PCA()
% originalData=[83.0 89.7 81.7 86.0 82.7 89.0 95.0 86.7 83.5;
% 81.3 81.7 90.0 86.5 72.7 86.5 80.0 80.0 76.0;
% 90.7 89.7 93.7 87.5 89.3 96.0 80.0 84.0 81.5 ;
% 86.0 89.7 90.0 89.5 87.0 94.5 95.0 82.8 79.5 ;
% 81.7 90.3 93.0 90.5 90.5 89.5 95.0 88.5 84.5 ;
% 86.0 85.7 87.0 90.5 84.8 92.5 95.0 82.9 78.5 ;
% 82.7 81.7 90.0 80.2 91.0 84.0 90.0 81.8 81.5 ;
% 84.0 85.7 67.0 82.2 90.0 93.5 90.0 85.3 77.0 ;
% 81.3 79.7 94.0 89.0 88.0 89.0 85.0 80.7 71.0 ;
% 80.0 88.7 82.0 91.5 92.3 94.5 85.0 85.8 73.0 ;
% 86.0 84.0 92.0 92.0 87.0 93.5 80.0 84.2 74.0 ;
% 84.5 89.3 82.5 75.0 81.5 93.0 95.0 76.2 77.5 ;
% 78.7 82.8 90.0 92.0 84.0 88.5 95.0 90.0 75.3 ;
% 86.3 88.2 93.5 91.5 87.5 93.5 95.0 84.8 79.8 ;
% 86.5 87.0 89.5 88.0 90.3 93.5 85.0 82.0 86.0 ;
% 83.3 89.7 83.0 81.0 84.0 96.0 90.0 77.8 76.0 ;
% 79.5 63.0 67.0 62.0 89.5 74.0 95.0 83.3 69.0 ;
% 67.0 76.0 85.0 69.0 86.3 71.5 85.0 84.0 69.5 ;
% 86.0 78.3 91.5 89.5 85.0 84.0 90.0 78.5 82.0 ;
% 87.0 83.3 97.0 90.5 81.7 94.0 95.0 86.8 78.0 ;
% 78.3 68.3 88.5 80.0 85.7 72.5 85.0 84.8 72.5 ;];
originalData=[3523.16,5437.47,8443.84,9649.7;
795.15,1698.91,3067.12,4138.25;
45.82,103.56,160.91,256.43;
22.62,51.02,68.99,65.07;
214,221,229,223;
7465,16000,18663,18825;];
originalData=originalData';%将矩阵进行转置，使得不同项目的同一指标值在同一列上
[roll,colomn]=size(originalData);%数据同方向化
%数据标准化：standardData-标准化后的数据；mu-每列的均值；sigma-每列的标准差
[standardData,mu,sigma]=zscore(originalData);
standardData
xiefangcha=cov(standardData);
[V,B]=eig(xiefangcha) %求矩阵的特征值和特征向量,其中B的对角线元素是特征值,X的列是相应的特征向量
%PCA降维,调用princomp函数（或pca函数，matlab2018a中已不支持princomp函数，或不进行函数调用）
%coef即系数矩阵
%score即生成的n维加工后的数据存在score里。它是对原始数据进行的解析，进而在新的坐标系下获得的数据
%latent即一维列向量
[coeff,score,latent] = pca(standardData);
latent=100*latent/sum(latent)
A=length(latent);
percent_threshold=85; %百分比阀值，用于决定保留的主成分个数；
percents=0; %累积百分比
for n=1:A
percents=percents+latent(n);
if percents>percent_threshold
break;
end
end
c_rate=cumsum(latent)./sum(latent) %主成分贡献率
%coeff=coeff(:,1:n) %达到主成分累积影响率要求的系数矩阵;
%score=score(:,1:n) %达到主成分累积影响率要求的主成分;
/*该matlab代码仍略有小问题*/
function y=PCA2(originalData)
[n,m]=size(originalData);%数据的同方向性
%样本数据进行预处理，即对数据进行标准化,等价于standardData=zscore(originalData);
standardData=(originalData-ones(n,m)*diag(mean(originalData)))*diag(1./std(originalData));
%求出协方差矩阵
R=corrcoef(standardData); %m*m方阵,等价于R=cov(standardData);
[COEFF,latent,explained]=pcacov(R);%其中explained是指每个特征值占比，explained=100*latent/sum(latent);
%f=explained./100;
%求R的特征值和特征向量，其中D是特征值,C是特征向量,类似的有[COEFF,latent,explained] = pcacov(R);
[C,D]=eig(R)
%m是所有特征值的和，diag(D)返回矩阵D的主对角线上的元素
f=diag(D)/m;%所有主成分的权重
f=f'
%F=X*C的成分值的大小
F=standardData*C;
%计算样本评价值
y=sum((F*diag(f))')';
y=sortrows([(1:n)',y],2);
y=y(n:-1:1,:);
y=[(1:n)',y]
%计算特征值的累积贡献率
percent_threshold=85;%百分比阀值，用于决定保留的主成分个数；
percents=0;%累积百分比
for i=1:m
percents=percents+f(i);
if percents>percent_threshold
break;
end
end
c_rate=cumsum(f)./sum(f) %主成分贡献率
四、友情链接
（1）主成分分析PCA的matlab实现
https://www.cnblogs.com/lutaitou/p/5535171.html
（2）主成分分析入门
https://www.cnblogs.com/SCUJIN/p/5965946.html
（3）Matlab 主成分分析函数pcacov代码剖析
https://blog.csdn.net/huangzhywin/article/details/89315143
（4）matlab主成分分析函数princomp简介
https://blog.csdn.net/fireguard/article/details/38701211
（5）matlab标准化和反标准化——zscore
https://blog.csdn.net/xiaopihaierletian/article/details/54138232