1. Definitions(定义)
主成分分析(principal components analysis, PCA)简称PCA,是一种广泛应用于数据降维(data dimensionality reduction)、有损数据压缩(lossy data compression)、特征提取(feature extraction)以及数据可视化等的一种技术,也被称为Karhunen-Lo`eve变换。
关于PCA的定义主要有两种:
- PCA是一种将数据投影到低维线性空间(principal subspace,主成子空间)使得投影之后的差异最大的正交投影。
- PCA是一种最小化平均投影成本(average projection cost),投影点与数据点之间的均方距离最小,即数据损失精度最小。
2. Example (例子)
我们通过一个有损压缩的例子来介绍PCA。假设我们有 个数据点 ,其中数据维度为 。因此,存储这些数据,需要 个单元。为了节省存储单元,我们考虑有损压缩。有损压缩,意味着我们可以用较少的存储单元储存数据,当然,这会损失些精度。因此我们要尽量的减少精度的损失。
我们将这些数据压缩成低维数据,即每一个 都可以找到一个对应的 。这里,我们用映射 来表示,即 。对应的解压缩,我们用函数 来表示,即 。
为了解压缩尽量简单,我们限制解压缩是经过一个线性变换矩阵 来完成,则解压缩信号表示为 。这里,我们限制矩阵 是列正交矩阵(矩阵中列两两正交)。一般来说,增大 的能量,需要降低 的能量,因此,我们对 进行归一化处理(归一化与未归一化大部分情况的结果是相等的,但也存在一些情况下归一化的情况更好,因此通常我们会对 进行归一化处理)。
我们从矩阵乘法的角度来理解
。通常,我们理解矩阵乘法从图的左图出发,但一般不会考虑右图的理解方式。这里,我们从右图的理解方式出发。由于
是列正交的,因此
张成了一个
空间,而
则是这个
空间的一组完备正交基。
在基
上的投影即为
。我们用
线性表出
。
为了使得解压之后的数据损失尽可能少的精度,我们需要通过使得如下损失函数(也称,代价函数 cost function)最小来得到压缩数据的具体表达式
损失函数是关于 的线性变换 的范数,因此是convex的(所有的范数均是convex function)。
通过导数工具,有
其中 成立,由于 是列正交矩阵,因此 。通过令偏导为0,我们找到函数的 驻点 。
给定解压矩阵
,我们从损失精度最小的角度出发,得到了压缩数据的表达式
,对应解压缩数据为
。为此,我们仍需要确定
的形式。这里,我们仍然从损失精度最小的角度出发
显然,我们要从从这个方程中解出 来是不可能的。
但是,我们是有
个
数据的,定义
,其中
这里
是列正交矩阵,即
。为使
最大,因此选择
最大的
个特征矢量作为
的列向量。对应地,
其中 表示最大的 个特征值 对应的特征矢量, 表示最大的 个特征值组成的结合。因此 。
Remarks:
- 基于上述表述,我们知道矩阵 选择数据矩阵 的最大 个特征值 所对应的特征向量 作为其列,最大程度的保留了矩阵 的能量。
- 这里所得到 并不是驻点,如果 对 求偏导,并令偏导为零,得到 ,显然这并不是最后的计算结果。