傅立叶级数以及傅立叶变换（一）

聪明的数学家总是喜欢从另一个角度看待世界，傅立叶变换给了人们一个从另一个不同的角度看待和认识世界的方法。

关于函数的多项式展开，在高等数学里大部分人都学习过泰勒展开，这是一种将特定函数展开为幂级数的方法，在微积分里有很重要的应用。而傅立叶展开，是将满足特定条件的函数展开在一组正交的三角级数上，我们可以定义这组三角级数：

$\left \{sin(0x),cos(0x),sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x)...sin(nx),cos(nx)\right\}$

并且

$\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)dx=0$

$\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)dx=0$

$\int_{-\pi}^{\pi}sin(nx)cos(mx)dx=0$

上面三个式子描述了这组三角函数系的正交性。

通俗地讲，就是可以认为特定的函数可以由无数个正弦函数叠加而来。由于三角函数具有周期性，我们可以先考虑周期为 $T$ 的函数 $f(t)$ 的傅立叶展开。

根据上面对傅立叶级数的通俗说法，可以写出：

$f(t)=A_{0}+\sum_{i=1}^{\infty }A_{i}sin(\frac{2i\pi t}{T})+\varphi _{i})$

利用高中的角和差公式展开为：

$f(t)=A_{0}+\sum_{i=1}^{\infty }A_{i} \left \{sin(\frac{2i\pi t}{T})cos\varphi_{i}+cos(\frac{2i\pi t}{T})sin\varphi _{i} \right \}$

并令 $\frac{a_{0}}{2}=A_{0}$ ， $a_{i}=A_{i}sin(\varphi_{i} )$ ， $b_{i}=A_{i}cos(\varphi_{i})$ ， $\omega =\frac{2\pi}{T}$ 最终得到：

$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{a_{i}cos(i\omega t)+b_{i}sin(i\omega t)\right \}$

这就是周期为 $2\pi$ 的函数的傅立叶级数展开。我们现在来求出 $\frac{a_{0}}{2}$ ， $a_{i}$ ， $b_{i}$ ：

对式 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{a_{i}cos(i\omega t)+b_{i}sin(i\omega t)\right \}$ 积分之：

$\int_{-T}^{T}f(t)dt=\int_{-T}^{T}\frac{a_{0}}{2}dt+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{\int_{-T}^{T}a_{i}cos(i\omega t)dt+\int_{-T}^{T}b_{i}sin(i\omega t)dt\right \}$

根据三角函数系的正交性：

$\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt=T{\frac{a_{0}}{2}}$

$a_{0}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt$

对式 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{a_{i}cos(i\omega t)+b_{i}sin(i\omega t)\right \}$ 乘以 $sin(i\omega t)$ 并积分之：

$\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(i\omega t)dt=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}\frac{a_{0}}{2}sin(i\omega t)dt+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}a_{i}sin(i\omega t)cos(i\omega t)dt+\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}b_{i}sin^2(i\omega t)dt\right \}$

根据三角函数系的正交性：

$\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(i\omega t)dt=0+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{0+\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}b_{i}sin^2(i\omega t)dt\right \}$

利用降幂公式 $sin^2x=\frac{1+cos2x}{2}, cos^2x=\frac{1-cos2x}{2}$ 得到：

$\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(i\omega t)dt=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty }\left \{\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}b_{i}(1-cos2x)dt\right \}$

$\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(i\omega t)dt=\frac{T}{2}bi$

$b_{i}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(i\omega t)dt$

同理得到：

$a_{i}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(i\omega t)dt$

整理以上过程，我们得到三角形式的傅立叶级数展开为：

$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{a_{i}cos(i\omega t)+b_{i}sin(i\omega t)\right \}$

$a_{0}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt$

$a_{i}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(i\omega t)dt$

$b_{i}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(i\omega t)dt$

下面我们将需要展开的函数进一步一般化，现在不妨设 $f(t)$ 不是周期函数，我们可以思考，其实非周期函数可以看作是周期无限大即 $T\rightarrow \infty$ 的周期函数。我们需要引入欧拉公式作为准备公式：

$e^{jx}=cosx+jsinx$ ， $j=\sqrt{-1}$

$cosx=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}$

$sinx=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$

式 $f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{a_{i}cos(i\omega t)+b_{i}sin(i\omega t)\right \}$ 可以改写为：

$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{i=1}^{\infty }\left \{a_{i}\frac{e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}}{2}+b_{i}\frac{e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2j}\right \}$

整理得：

$f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{\infty }\left \{e^{i\omega t}(a_{i}-jb_{i})+e^{-i\omega t}(a_{i}+jb_{i})\right \}$

对于 $a_{i}-jb_{i}$ 有：

$a_{i}-jb_{i}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(i\omega t)dt-j\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(i\omega t)dt$

$=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\left \{cos(i\omega t)-jsin(i\omega t)\right \}dt$

$=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ij\omega t}dt$

同理有：

$a_{i}+jb_{i}=\frac{2}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{ij\omega t}dt$

注意到当 $i=0$ 时 $a_{i}-jb_{i}=a_{i}+jb_{i}=a_{0}$ ，且当 $i<0$ 时 $a_{i}-jb_{i}=a_{i}+jb_{i}$

所以：

$f(t)=\sum_{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ij\omega t}dt$

令 $c_{i}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-ij\omega t}dt$ ， $\omega_{i}=i\omega$ 有：

$f(t)=}\sum_{-\infty }^{\infty }c_{i}e^{j\omega_{i}t}$

对于非周期函数来说，形式为：

$f(t)=\lim_{T\rightarrow \infty }\sum_{-\infty }^{\infty }e^{j\omega_{i}t}\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt$

当周期无限大时角频率 $\omega$ 将由离散变量成为连续变量，不妨将 $\frac{1}{T}$ 写作 $\frac{\omega}{2\pi}$ ，最终形式的傅立叶级数为：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt \right ]e^{j\omega_{i}t}d\omega$

傅立叶级数以及傅立叶变换（一）

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