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目的
1.掌握二维 DFT 变换及其物理意义
2.掌握二维 DFT 变换的MATLAB 程序
3.空域滤波与频域滤波
原理
1.应用傅立叶变换进行图像处理
傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。
2.傅立叶（Fourier）变换的定义
对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：
F ( u , v ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) e − j 2 π ( u x + v y ) d x d y F(u, v)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) e^{-j 2 \pi (u x+vy)} d x d y F(u,v)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)e−j2π(ux+vy)dxdy
逆变换：
f ( x , y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ F ( u d , v ) e j 2 π ( u x + v y ) d u d v f(x, y)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} F(u d, v) e^{j 2 \pi (u x+vy) } d u d v f(x,y)=∫−∞∞∫−∞∞F(ud,v)ej2π(ux+vy)dudv
二维离散傅立叶变换为：
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) F(u, v)=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) e^{-j 2 \pi\left(\frac{\mathrm{ux}}{\mathrm{M}}+\frac{v y}{N}\right)} F(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(Mux+Nvy)
逆变换：
f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x M + v y N ) f(x, y)=\frac{1}{M N} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u, v) e^{j 2 \pi\left(\frac{\mathrm{ux}}{M}+\frac{v y}{N}\right)} f(x,y)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(Mux+Nvy)
图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。
利用MATLAB 实现数字图像的傅立叶变换
A．
I=imread('D:\pic\DIP3E_CH03\Fig0316(3)(third_from_top).tif'); %读入原图像文件
imshow(I); %显示原图像
fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换
sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心
RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部
II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部
A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值
A=(A-min(min(A)))/(max(max(A))-min(min(A)))*225; %归一化
figure %设定窗口
imshow(A); %显示原图像的频谱
B．
傅立叶变换在图像处理，特别是在图像增强、复原和压缩中，扮演着非常重要的作用。实际中一般采用一种叫做快速傅立叶变换（FFT）的方法，MATLAB 中的fft2 指令用于得到二维FFT 的结果，ifft2 指令用于得到二维FFT 逆变换的结果。
近似冲击函数的二维快速傅立叶变换（FFT）
x=1:99;y=1:99;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
A=zeros(99,99);
A(49:51,49:51)=1;
B=fft2(A);
subplot(1,2,1),imshow(A),xlabel('空域图象');
subplot(1,2,2),imshow(B),xlabel('时域图象');
figure
subplot(1,2,1),mesh(X,Y,A),xlabel('空域'),grid on;
subplot(1,2,2),mesh(X,Y,abs(B)),xlabel('时域'),grid on;
空域滤波与频域滤波
% 用于频域滤波的m函数
function g=dftfilt(f,H)
F=fft2(f,size(H,1),size(H,2));
g=real(ifft2(H.*F));
g=g(1:size(f,1),1:size(f,2));
%
function PQ=paddedsize(AB,CD,PARAM)
if nargin==1
PQ=2*AB;
elseif nargin ==2 & ~ischar(CD)
PQ=AB+CD-1;
PQ=2*ceil(PQ/2);
elseif nargin == 2
m=max(AB);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[P,P];
elseif nargin == 3
m=max([AB CD]);
P=2^nextpow2(2*m);
PQ=[P,P];
else
error('Wrong number of inputs')
end
%图像f的傅里叶频谱
f=imread(' D:\pic\DIP3E_CH04\Fig0438(a)(bld_600by600).tif');
F=fft2(f);
S=fftshift(log(1+abs(F)));
%S=gscale(S);
% gscale 函数参照 function g=gscale(f,varargin)
imshow(S)
%使用函数fspecial生成空间滤波器
h=fspecial(‘sobel’)
freqz2(h) %查看相应频域滤波器图形
PQ=paddedsize(size(f));
H=freqz2(h,PQ(1),PQ(2));
H1=ifftshift(H);
imshow(abs(H),[])
figure,imshow(abs(H1),[])
gs=imfilter(double(f),h);% 生成滤波后的图像，并默认采用了0进行边界填
充
gf=dftfilt(f,H1);
imshow(gs,[])
figure,imshow(gf,[])
figure,imshow(abs(gs),[])
figure,imshow(abs(gf),[])
%创建一幅阀值2值图像
figure,imshow(abs(gs)>0.2*abs(max(gs(:))))
figure,imshow(abs(gf)>0.2*abs(max(gf(:))))
d=abs(gs-gf);
max(d(:))
min(d(:))
参考文献：