傅立叶级数以及傅立叶变换（二）

书接上回，上回给出了函数的傅立叶展开：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\left [{\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt} \right ]e^{j\omega_{i}t}d\omega$

注意对于周期函数，积分上下限变为间隔一个周期的整数倍都成立，比如对于周期为 $2\pi$ 的函数，有：

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi }^{\pi }\left [ \int_{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt \right ]e^{j\omega_{i}t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{0 }^{2\pi }\left [ \int_{0}^{2\pi }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt \right ]e^{j\omega_{i}t}d\omega$

这里不做证明。

我们注意到式子里红色部分 ${\color{Red} \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt}$ 在积分后便与变量 $t$ 无关，而是一个关于 $\omega_{i}$ 的函数 $F(\omega)$ 。

实际上 ${\color{Red}F(\omega)= \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt}$ 便是函数 $f(t)$ 的傅立叶变换，且

${\color{Red} f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\left [{\color{Red} F(\omega)} \right ]e^{j\omega_{i}t}d\omega}$ 是这一变换的逆变换。至此傅立叶变换算是推导完毕了，但是傅立叶变换是有很多缺陷的，如果 $f(t)$ 在定义域内出现某些间断点，傅立叶变换便是无意义的，不过这里不做赘述。

在计算机图形学和信号学里傅立叶变换有很多应用，但是受制于计算机只能处理离散计算，所以我们需要将这一变换离散化，观察变换：

${\color{Red}F(\omega)= \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt}$

我们需要找到一个离散求和变换来近似这一积分变换。设函数 $f(t)$ 为周期为 $2\pi$ 的周期函数，对于积分 $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)e^{-j\omega_{i} t}$ ，利用定积分的定义，我们分割积分域 $(0,2\pi)$ 为若干份长度为 $\frac{2\pi}{N}$ 的部分，得到近似：

$\int_{0 }^{2\pi }f(t)e^{-j\omega_{i}t}dt\approx\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f(\frac{1}{N}n)\ \cdot e^{-j\omega_{i} \frac{2\pi}{N}n}$

我们令 $K=\omega_{i}$ ， $Y_{n}=f(\frac{2\pi}{N}n)$ ， $W=e^{j\frac{2\pi}{N}}$

最终得到

$F(K)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}Y_{n}W^{-nK}$

我们来近似逆变换，由 ${\color{Red} f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\left [{\color{Red} F(\omega)} \right ]e^{j\omega_{i}t}d\omega}$

近似得到 $Y_{n}=\sum_{m=0}^{M-1} F(K)} W^{nK}$

傅立叶级数以及傅立叶变换（二）

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