本文介绍了背包问题系列，主要包括：
【1】 01-背包及其应用
【2】完全背包及其应用
【3】多重背包
【1】01-背包及其应用：
1.1、01-背包问题描述：
有 N 件物品和一个容量为 C 的背包。第 i 件物品的重量是 w[i]，价值是 v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。如：
| 物品 i | 重量 w | 价值 v |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 4 |
| 3 | 4 | 5 |
| 4 | 5 | 6 |
其中 N = 4，C = 8， 则最大价值为 10（即把物品 2 和 4 放入背包）。
1.2、01-背包解题思路：
01-背包问题适合用动态规划求解，用 dp[i][j] 表示前 i 个物品放入容量为 j 的背包中的最大价值，因此此问题变成一个填表问题。如上述例子，dp[4][8] 就是最后的答案。
关键是找到状态转移方程。假设现在要计算 dp[i][j]，那么分为两种情况：
- 如果当前容量 j 小于第 i 件物品的重量（j < w[i]），则说明第 i 件物品肯定无法放入背包，那么此背包还是只有前 i-1 个物品，即
dp[i][j] = dp[i-1][j]。 - 如果当前容量 j 大于等于第 i 件物品的重量（j ≥ w[i]），则说明第 i 件物品有放入背包的基本条件。那么到底能不能放要取决于第 i 件物品的加入能否使得总价值最大。如果不能最大化总价值，那么还是
dp[i][j] = dp[i-1][j]，表示不放入第 i 件物品；如果可以最大化总价值，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，这里的dp[i-1][j-w[i]]为装入第 i 件物品之前的状态。
1.3、01-背包Python3 实现：
class Solution:
def knapsack01(self, N, w, v, C):
'''
@param N: int, 物品总数
@param w: List, 物品重量
@param v: List, 物品价值
@param C: int, 背包容量
'''
dp = [[0] * (C+1) for _ in range(N+1)]
for i in range(1, N + 1):
for j in range(1, C+1):
if j < w[i-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])
return dp[-1][-1]
N = 4
w = [2,3,4,5]
v = [3,4,5,6]
C = 8
print(Solution().knapsack01(N, w, v, C)) # 10
进一步发现，如果 j < w[i-1]，更新 dp[i][j] = dp[i-1][j] 实际上没用，因为下一行的更新肯定用不到 j < w[i-1] 时的情况。因此，中间可以简化代码为：
for i in range(1, N + 1):
for j in range(w[i-1], C+1):
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1])
1.5、01-背包空间优化：
更进一步发现，每一次 dp[i][j] 的改变只与 dp[i-1][x] { x : 1...j } 有关，dp[i-1][x] 是上一次循环保存下来的值；
因此，可以将 dp 缩成一维数组，从而达到优化空间的目的，状态转移方程转换为：dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]] + v[i])。
注意：状态转移方程，每一次推导V(i)(j)是通过V(i-1)(j-w(i))来推导的，所以一维数组中j的扫描顺序应该从大到小(capacity到0)，否者前一次循环保存下来的值将会被修改，从而造成错误。
中间的简化代码如下：
for i in range(1, N+1):
for j in range(C, w[i-1]-1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i-1]] + v[i-1])
1.4、与01-背包相关的Leetcode题目：
【2】完全背包及其应用
2.1、完全背包问题描述：
有 N 种物品和一个容量是 C 的背包，每种物品都有无限件可用。第 i 种物品的重量是 wi，价值是 vi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。
输入格式：
第一行两个整数，N，C，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 wi, vi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的重量和价值。
输出格式：
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围：
- 0 < N, C ≤ 1000
- 0 < wi, vi ≤ 1000
输入样例：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
2.2、完全背包解题思路：
与01-背包不同的是，完全背包问题是指每种物品都有无限个。
2.3、C++ 实现：
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