【线性代数（2）】n阶行列式三种定义

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1. 回顾

先回顾一下之前的三阶行列式，看一下其中的规律
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\ast a_{22}\ast a_{33}+a_{12}\ast a_{23}\ast a_{31}+a_{13}\ast a_{21}\ast a_{32}-a_{13}\ast a_{22}\ast a_{31}-a_{12}\ast a_{21}\ast a_{33}-a_{11}\ast a_{23}\ast a_{32}$$

观察一下最后的运算结果，也就得出了三阶行列式展开的定义

• 行标：取标准排列（全部都是123）
• 列标：取排列的所有可能，从不同行不同列中取出三个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定的，详情如下

运算符号	元素下标	逆序数
+	123	0
+	231	2
+	312	2
-	321	3
-	213	1
-	132	1

2. n阶行列式

2.1 第一种定义（按行展开）

三阶行列式展开定义的推广，也就是行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列中取出n个元素相乘，符号是由列标排列的奇偶性决定的，共有 $n!$ 项，公式如下：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ .& .& ...& .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{33}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2...j_n}{(-1)}^{N(j_1{j}_2...j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}...a_{n{j}_n}$$

其中：

$a_{1j_1}{a}_{2j_2}...a_{n{j}_n}$ 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积；

$N(j_1{j}_2...j_n)$ 表示列标的逆序数（奇偶性）；

${\sum }_{j_1{j}_2...j_n}$ 表示对所有n级排列求和（进行累加）；

2.2 表示方式

行列式的表示方式：$D=|a_{ij}|$，其中有个性质就是$|a_{11}|=a_{11}$

注意和数学上的区别：比如就存在这种现象：$|-1|=-1$和$|-1|=1$

$|a_{11}|=a_{11}$ 这里指的是行列式
$|a_{11}|=\pm a_{11}$ 这里指的是绝对值

2.3 举个例子

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 8\\ 1& 1& 0& 4\\ 2& 2& 0& 5\\ 1& 0& 0& 9\end{array}\right|$$

进行展开的时候，行标不变，主要是列标的改变，共有$4!=24$项，不妨进行展开看一下

以标准排列为基准，计算出其逆序数，判断运算符号，然后在根据对换数判断其他元素下标的运算符号，也就省去了其他元素下标进行逆序数的计算

运算符号	元素下标	逆序数	对换数	展开项
+	1234	0		$+1\ast 1\ast 0\ast 9$
-	1243		1	$-1\ast 1\ast 5\ast 0$
-	1324		1	$-1\ast 0\ast 2\ast 9$
+	1342		2	$+1\ast 0\ast 5\ast 0$
…	…	…	…	…

真的要把24项全部展开真的太浪费时间了，通过上面的展开，可以发现有些展开项中存在着0这个元素，所以相乘的结果也是0，故该项就为0，这样的话就可以简化一些特殊的行列式，也是属于考试的重点

比如下面行列式：
$$\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 2\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right|$$

可以发现每列只有一个元素不为零，且对应的列标为2341，那么最后该4阶行列式展开的结果为：$$D=(-1{)}^{N(2341)}1\ast 1\ast 2\ast 1=-2$$

2.4 三角行列式

上下三角及对角行列式都是针对于主对角线（从左上到右下）来讲的，其对称形式也就是针对于副对角线

计算下面行列式展开项的结果
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& ...& 0\\ a_{21}& a_{22}& ...& 0\\ .& .& ...& .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$$

那么按照第一种定义来展开的话，

（1）首先要明确属于特殊的行列式，第一行除了第一个元素全是0，那么在取列表进行排列时候，只能取第一个；

（2）接着往下取，每次的展开项都是要由不同行不同列的n个元素相乘，所以最后只能取得元素就是$a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$；

（3）最后就是进行前面正负1的判定，下标为标准排列，前面符号取正；

（4）所以最终的下三角行列式的展开结果就为主对角线的乘积

上三角和对角线行列式也是同理，这时候取元素的时候从最后一行开始取即可
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ 0& a_{22}& ...& a_{2n}\\ .& .& ...& .\\ 0& 0& ...& a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$$

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& ...& 0\\ 0& a_{22}& ...& 0\\ .& .& ...& .\\ 0& 0& ...& a_{nn}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}...a_{nn}$$

注意上/下三角和对角线行列式的对称形式，其中的符号问题，如下

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& 0\\ .& .& ...& .\\ a_{n1}& 0& ...& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{N(n(n-1)...3\ast 2\ast 1)}{a}_{1n}{a}_{2(n-1)}...a_{n1}=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2(n-1)}...a_{n1}$$

$$\left|\begin{array}{cccc}0& 0& ...& a_{1n}\\ 0& a_{22}& ...& a_{2n}\\ .& .& ...& .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|=(-1{)}^{N(n(n-1)...3\ast 2\ast 1)}{a}_{1n}{a}_{2(n-1)}...a_{n1}=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2(n-1)}...a_{n1}$$

$$\left|\begin{array}{cccc}0& 0& ...& a_{1n}\\ 0& a_{22}& ...& 0\\ .& .& ...& .\\ a_{n1}& 0& ...& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{N(n(n-1)...3\ast 2\ast 1)}{a}_{1n}{a}_{2(n-1)}...a_{n1}=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2(n-1)}...a_{n1}$$

2.5 第二种定义（按列展开）

还是先拿三阶行列式进行展开示例：
$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\ast a_{22}\ast a_{33}+a_{31}\ast a_{12}\ast a_{23}+a_{21}\ast a_{32}\ast a_{13}-a_{31}\ast a_{22}\ast a_{13}-a_{21}\ast a_{12}\ast a_{33}-a_{11}\ast a_{32}\ast a_{23}$$

第二种定义为（按列展开）：列标标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列中取出n个元素相乘，符号是由行标排列的奇偶性决定的，共有 $n!$ 项，公式如下：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ .& .& ...& .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{33}\end{array}\right|=\sum _{i_1{i}_2...i_n}{(-1)}^{N(i_1{i}_2...i_n)}{a}_{i_{1}1}{a}_{i_{2}2}...a_{i_{n}n}$$

2.6 第三种定义（随意展开）

这种展开就是既不按照行排列，也不按照列进行排列，还是以三阶的行列式为例，展开的每一项都是有三个元素相乘，如果随意的打乱其中的位置，比如把上面的a11​∗a22​∗a33，变成a33∗a22​∗a11，就变成乱序了，也就不符合上面的前两种定义，这时候的展开项的公式如下

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ .& .& ...& .\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{33}\end{array}\right|=\sum {(-1)}^{N(i_1{i}_2...i_n)+N(j_1{j}_2...j_n)}{a}_{i_1{j}_1}{a}_{i_2{j}_2}...a_{i_n{j}_n}$$

2.7 习题举例

一个行列式的展开式如下，求解其中的i,k,m参数及最后的展开项
$$(-1{)}^{N(i21m)+N(1k32)}{a}_{i1}{a}_{2k}{a}_{13}{a}_{m2}$$

解：

① 首先看符号这里的判定，既不属于行标也不属于列标展开，故为第三种定义展开

②其次，看下标，一个是i21m，一个是1k32，由于是由排列组成的，所以k = 4, i = 3, j = 4 或者 k = 4, j = 3, i = 4

③接着求解逆序数（很明显两个答案对应的结果是一奇一偶，因为经过一次对换），N(3214) + N(1432)= 6; N(4213) + N(1432)=7

④最后展开项为$a_{31}{a}_{24}{a}_{13}{a}_{42}$ 或者 $-a_{41}{a}_{24}{a}_{13}{a}_{32}$

至此，n阶行列式的内容梳理完毕，下一部分为行列式性质的介绍