先研究三阶行列式：
容易看出：
1) (6)式的每一项都恰好是三个元素的乘积，这三个元素位于不同行、不同列。
因此任一项除正负号外都可以写成.
这里每一项的第一个下标(行标)排成标准次序123。
即：
而每一项的第二个下标(列标)，排成p1p2p3，它是1，2，3三个数的某个排列。这样的排列共有6种，对应(6)式共含6项。
2）各项的正负号与列标的排列对照
带正号的三项列标排列是123，231，312.(都是偶排列）
带负号的三项列标排列是132，213，321.(都是奇排列）
经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列。
因此，各项所带的正负号可以表示为，其中t为列标排列的逆序数。
总之，三阶行列式可以写成：
其中t为排列 p1p2p3 的逆序数，∑表示对所有排列种类取和。
把行列式推广到一般形式：
设有个数，排成n行n列的数表：
作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并冠以符号，得到形如
其中p1p2...pn为自然数1,2...,n的一个排列，t为这个排列的逆序数。
由于这样的排列共有n!个，因而形如(7)式的项共有n!项。
所有这n!项的代数和
称为n阶行列式，记作：
简记作det()，其中数
为行列式的(i,j)元。
当n=1时，一阶行列式|a|=a,注意不要与绝对值号弄混。
主对角线以下的元素都为0的行列式叫做上三角行列式。
主对角线以上的元素都为0的行列式叫做下三角行列式。
主对角线以上和以下的元素都为0的行列式叫做对角行列式。