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根据背包问题的相关状态转移方程，我们不难写出朴素的算法
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 inline int read() { 7 int ret=0; 8 int op=1; 9 char c=getchar(); 10 while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();} 11 while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); 12 return ret*op; 13 } 14 int n,m; 15 int c[7010],v[7010],num[7010]; 16 int f[7010]; 17 int main() { 18 n=read(); m=read(); 19 for(int i=1;i<=n;i++) { 20 c[i]=read(); v[i]=read(); num[i]=read(); 21 } 22 for(int i=1;i<=n;i++) 23 for(int j=m;j>=c[i];j--) 24 for(int k=0;k<=num[i];k++) 25 if(j-c[i]*k>=0) 26 f[j]=max(f[j],f[j-c[i]*k]+v[i]*k); 27 printf("%d\n",f[m]); 28 return 0; 29 }
在朴素算法中，我们枚举每个物品的数量作为决策，这样大大浪费时间，我们可以将物品二进制拆分来代替枚举，具体地讲，例如某种物品数量为10，那么我们将这个物品的数量拆分成1,2,4,3（相当于把这个数量为10的物品分成四个物品），然后这个问题就转化成了01背包问题。时间复杂度大大降低。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 inline int read() { 7 int ret=0; 8 int op=1; 9 char c=getchar(); 10 while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();} 11 while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); 12 return ret*op; 13 } 14 int n,m,tot; 15 int f[7010],c[100010],v[100010]; 16 int main() { 17 n=read(); m=read(); 18 for(int i=1;i<=n;i++) { 19 int x=read(),y=read(),z=read(); 20 int base=1; 21 while(z>=base) { 22 c[++tot]=x*base; 23 v[tot]=y*base; 24 z-=base; 25 base<<=1; 26 } 27 if(z>0) { 28 c[++tot]=z*x; 29 v[tot]=z*y; 30 } 31 } 32 for(int i=1;i<=tot;i++) 33 for(int j=m;j>=c[i];j--) 34 f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+v[i]); 35 printf("%d\n",f[m]); 36 return 0; 37 }
我们继续考虑优化dp，我们将状态j按照c[i]的余数分组，显然，当i为定值时，不同组的状态不能相互转移。
我们将倒序循环j的过程，改为对每个余数u∈[0,c[i]-1]，倒序循环p，这样状态j=u+p*c[i]。
于是我们得到了新的状态转移方程：
类比Fence一题，我们便可以使用单调队列进行优化，这种算法的时间复杂度与普通的背包相等，可以通过本题。
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 typedef long long ll; 7 int n,m,c[7010],v[7010],num[7010],f[7010]; 8 int q[7010]; 9 inline int read() { 10 int ret=0; 11 int op=1; 12 char c=getchar(); 13 while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1; c=getchar();} 14 while(c<='9'&&c>='0') ret=ret*10+c-'0',c=getchar(); 15 return ret*op; 16 } 17 inline int calc(int i,int u,int k) { 18 return f[u+k*c[i]]-k*v[i]; 19 } 20 int main() { 21 n=read(); m=read(); 22 memset(f,0xcf,sizeof(f)); 23 f[0]=0; 24 for(int i=1;i<=n;i++) { 25 c[i]=read(); v[i]=read(); num[i]=read(); 26 for(int u=0;u<c[i];u++) { 27 int l=1,r=0; 28 int maxx=(m-u)/c[i]; 29 for(int k=maxx-1;k>=max(0,maxx-num[i]);k--) { 30 while(l<=r&&calc(i,u,q[r])<=calc(i,u,k)) r--; 31 q[++r]=k; 32 } 33 for(int p=maxx;p>=0;p--) { 34 while(l<=r&&q[l]>p-1) l++; 35 if(l<=r) f[u+p*c[i]]=max(f[u+p*c[i]],calc(i,u,q[l])+p*v[i]); 36 if(p-num[i]-1>=0) { 37 while(l<=r&&calc(i,u,q[r])<=calc(i,u,p-num[i]-1)) r--; 38 q[++r]=p-num[i]-1; 39 } 40 } 41 } 42 } 43 int ans=0; 44 for(int i=1;i<=m;i++) 45 ans=max(ans,f[i]); 46 printf("%d\n",ans); 47 return 0; 48 }