多重背包的优化方法

orz zrf

首先,经典的多重背包解法,是把一个物品分成该物品的总数份,然后做01背包

第一个优化方法是把一个物品呢分成 $O(log(该物品的总数份))$,举个例子:

如果物品有 $2^n-1$个,就分成 $2^0,2^1,...,2^{n-1}$,这样.如果不是 $2^n-1$,就找到最大的 $2^n-1$,使得 $2^n-1<=总数$,然后分成 $2^0,2^1,2^2,...2^(n-1),总数-(2^n-1)$这些份.然后再做01背包

第二个是单调队列

首先可以发现对于固定的物品i,和固定的当前容量j,可以发现能够转移到j的形成了一个等差数列,公差是i物品的单个体积vi.然后就可以把容积按对vi取模的余数分类,然后对于能转移到i的等价类,假设里面的数是 $j,j-vi,j-2*vi,...,j-k*vi$,首先每个位置转移到i的权值不同,但是观察后发现,如果每个数减去 $k*wi$,那么转移转移到i的权值就相同了,就可以直接用单调队列求出.