多重背包的单调队列优化

题目传送门

在求解多重背包的时候，我们最朴素的方法就是把所有物品看做独立的然后01背包求解，这样的时间复杂度是$O(NV\sum K)$的，然后我们可以用二进制优化，时间复杂度是$O(NVlog\sum k)$ ，然而对于有些题我们还是过不去。这时候我们就需要用单调队列去优化了。

我们先考虑普通的状态转移方程：$f[i][j]=max(f[i-1][j-k\ast w]+k\ast v),(j-k\ast w>=0)$
然后我们可以考虑调整循环，优化掉一维数组，即保证每一次都是由上一次转化而来。
得到方程$f[j]=max(pre[j-k\ast w]+k\ast v),(j-k\ast w>=0)$

然后我们发现，$f[j]$只会由$pre[j-k\ast w]$转化而来。
我们把$f[m]$（m是背包总容量）分组：

我们需要得到的是$max(pre[j-k\ast w]+k\ast v)$,所以我们维护一个$max(pre[j-k\ast w]+k\ast v)$的最大值。
然后就可以得到：

我们发现对于f[j+k*v]，k每次加1，后面每一项的值都需要加一个w，所以我们需要做一些转换。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define null NULL
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ll long long
//#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define ull unsigned long long
#define pdd pair<double,double>
#define lowbit(x) x&-x
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define sz(x) (int)(x).size()
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
char *fs,*ft,buf[1<<20];
#define gc() (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),fs==ft))?0:*fs++;
inline int read()
{
    
    
    int x=0,f=1;
    char ch=gc();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
    
    
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=gc();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
    
    
        x=x*10+ch-'0';
        ch=gc();
    }
    return x*f;
}
using namespace std;
const int N=2e4+55;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-6;
const double PI=acos(-1);
int q[N],f[N],pre[N];
void solve()
{
    
    
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    
    
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        memcpy(pre,f,sizeof f);
        for(int j=0;j<v;j++)
        {
    
    
            int head=0,tail=-1;
            for(int k=j;k<=m;k+=v)
            {
    
    
                if(head<=tail&&(k-q[head])/v>s)
                    head++;
                if(head<=tail)
                    f[k]=max(f[k],pre[q[head]]+(k-q[head])/v*w);
                while(head<=tail&&pre[q[tail]]-(q[tail]-j)/v*w<=pre[k]-(k-j)/v*w)
                    tail--;
                q[++tail]=k;
            }
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
}
signed main()
{
    
    
//    int t;
//    cin>>t;
//    while(t--)
    solve();
    return 0;
}