线性回归很简单，用线性函数拟合数据，用 mean square error (mse) 计算损失（cost），然后用梯度下降法找到一组使 mse 最小的权重。
lasso 回归和岭回归（ridge regression）其实就是在标准线性回归的基础上分别加入 L1 和 L2 正则化（regularization）。
本文的重点是解释为什么 L1 正则化会比 L2 正则化让线性回归的权重更加稀疏，即使得线性回归中很多权重为 0，而不是接近 0。或者说，为什么 L1 正则化（lasso）可以进行 feature selection，而 L2 正则化（ridge）不行。
线性回归
线性回归（linear regression），就是用线性函数 \(f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b\) 去拟合一组数据 \(D = \{(\bm x_1, y_1), (\bm x_2, y_2), ..., (\bm x_n, y_n)\}\) 并使得损失 \(J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2\) 最小。线性回归的目标就是找到一组 \((\bm w^*, b^*)\)，使得损失 \(J\) 最小。
线性回归的拟合函数（或 hypothesis）为：
\[ f(\bm x) = \bm w^{\top} \bm x + b \tag{1} \]
cost function (mse) 为：
\[ \begin{split} J &= \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 \\ & = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2 \end{split} \tag{2} \]
Lasso回归和岭回归
Lasso 回归和岭回归（ridge regression）都是在标准线性回归的基础上修改 cost function，即修改式（2），其它地方不变。
Lasso 的全称为 least absolute shrinkage and selection operator，又译最小绝对值收敛和选择算子、套索算法。
Lasso 回归对式（2）加入 L1 正则化，其 cost function 如下：
\[ J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_1 \tag{3} \]
岭回归对式（2）加入 L2 正则化，其 cost function 如下：
\[ J = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (f(\bm x_i) - y_i)^2 + \lambda \|w\|_2^2 \tag{4} \]
Lasso回归和岭回归的同和异：
- 相同：
- 都可以用来解决标准线性回归的过拟合问题。
- 不同：
- lasso 可以用来做 feature selection，而 ridge 不行。或者说，lasso 更容易使得权重变为 0，而 ridge 更容易使得权重接近 0。
为什么 lasso 更容易使部分权重变为 0 而 ridge 不行？
lasso 和 ridge regression 的目标都是 \(\min_{\bm w, b} J\)，式（3）和（4）都是拉格朗日形式，其中 \(\lambda\) 为拉格朗日乘子，我们也可以将 \(\min_{\bm w, b} J\) 写成如下形式：
lasso regression:
\[ \begin{array}{cl} {\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2} \\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_1 \le t} \end{array} \tag{5} \]ridge regression:
\[ \begin{array}{cl} {\min \limits_{w, b}} & {\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2} \\ {\text{s.t.}} &{\|w\|_2^2 \le t} \end{array} \tag{6} \]
式（5）和（6）可以理解为，在 \(\bm w\) 限制的取值范围内，找一个点 \(\hat{\bm w}\) 使得 mean square error 最小，\(t\) 可以理解为正则化的力度，式（5）和（6）中的 \(t\) 越小，就意味着式（3）和（4）中 \(\lambda\) 越大，正则化的力度越大 。
以 \(\bm x \in R^2\) 为例，式（5）中对 \(\bm w\) 的限制空间是方形，而式（6）中对 \(\bm w\) 的限制空间是圆形。因为 lasso 对 \(\bm w\) 的限制空间是有棱角的，因此 \(\arg \min_{w, b} {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}\) 的解更容易切在 \(\bm w\) 的某一个维为 0 的点。如下图所示：
Fig. 1 中的坐标系表示 \(\bm w\) 的两维，一圈又一圈的椭圆表示函数 \(J = {\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n (\bm w^{\top} \bm x_i + b - y_i)^2}\) 的等高线，椭圆越往外，\(J\) 的值越大，\(\bm w^*\) 表示使得损失 \(J\) 取得全局最优的值。使用 Gradient descent，也就是让 \(\bm w\) 向着 \(\bm w^*\) 的位置走。如果没有 L1 或者 L2 正则化约束，\(\bm w^*\) 是可以被取到的。但是，由于有了约束 \(\|w\|_1 \le t\) 或 \(\|w\|_2^2 \le t\)，\(\bm w\) 的取值只能限制在 Fig. 1 所示的灰色方形和圆形区域。当然调整 \(t\) 的值，我么能够扩大这两个区域。
等高线从低到高第一次和 \(\bm w\) 的取值范围相切的点，即是 lasso 和 ridge 回归想要找的权重 \(\hat{\bm w}\)。
lasso 限制了 \(\bm w\) 的取值范围为有棱角的方形，而 ridge 限制了 \(\bm w\) 的取值范围为圆形，等高线和方形区域的切点更有可能在坐标轴上，而等高线和圆形区域的切点在坐标轴上的概率很小。这就是为什么 lasso（L1 正则化）更容易使得部分权重取 0，使权重变稀疏；而 ridge（L2 正则化）只能使权重接近 0，很少等于 0。
正是由于 lasso 容易使得部分权重取 0，所以可以用其做 feature selection，lasso 的名字就指出了它是一个 selection operator。权重为 0 的 feature 对回归问题没有贡献，直接去掉权重为 0 的 feature，模型的输出值不变。
对于 ridge regression 进行 feature selection，你说它完全不可以吧也不是，weight 趋近于 0 的 feature 不要了不也可以，但是对模型的效果还是有损伤的，这个前提还得是 feature 进行了归一化。
References
[1] Tibshirani, R. (1996). Regression Shrinkage and Selection Via the Lasso. Journal Of The Royal Statistical Society: Series B (Methodological), 58(1), 267-288. doi: 10.1111/j.2517-6161.1996.tb02080.x
[2] Lasso算法 -- 维基百科
[3] 机器学习总结(一)：线性回归、岭回归、Lasso回归 -- 她说巷尾的樱花开了