脊回归（Ridge Regression）

脊回归（Ridge Regression）

标签：监督学习

@ author : [email protected]
@ time : 2016-06-19

在《线性回归（Linear Regression）》中提到过，当使用最小二乘法计算线性回归模型参数的时候，如果数据集合矩阵（也叫做设计矩阵(design matrix)）$X$，存在多重共线性，那么最小二乘法对输入变量中的噪声非常的敏感，其解会极为不稳定。为了解决这个问题，就有了这一节脊回归（Ridge Regression ）。

当设计矩阵$X$存在多重共线性的时候（数学上称为病态矩阵），最小二乘法求得的参数$w$在数值上会非常的大，而一般的线性回归其模型是 $y=w^Tx$ ，显然，就是因为$w$在数值上非常的大，所以，如果输入变量$x$有一个微小的变动，其反应在输出结果上也会变得非常大，这就是对输入变量总的噪声非常敏感的原因。

如果能限制参数$w$的增长，使$w$不会变得特别大，那么模型对输入$w$中噪声的敏感度就会降低。这就是脊回归和套索回归（Ridge Regression and Lasso Regrission）的基本思想。

为了限制模型参数$w$的数值大小，就在模型原来的目标函数上加上一个惩罚项，这个过程叫做正则化（Regularization）。

如果惩罚项是参数的$l_{2}$范数，就是脊回归(Ridge Regression)

如果惩罚项是参数的$l_{1}$范数，就是套索回归（Lasso Regrission）

正则化同时也是防止过拟合有效的手段，这在“多项式回归”中有详细的说明。

脊回归(Ridge Regression)

所谓脊回归，就是对于一个线性模型，在原来的损失函数加入参数的$l_{2}$范数的惩罚项，其损失函数为如下形式:

$$J_{w}=\min_{w}\{\left|| Xw-y \right||^2+\alpha\left|| w \right||^2\}$$

这里$\alpha$是平法损失和正则项之间的一个系数，$\alpha \geq 0$。

$\alpha$的数值越大，那么正则项，也是惩罚项的作用就越明显；$\alpha$的数值越小，正则项的作用就越弱。极端情况下，$\alpha = 0$则和原来的损失函数是一样的，如果$\alpha = \infty$，则损失函数只有正则项，此时其最小化的结果必然是$w=0$。

关于alpha的数值具体的选择，归于“模型选择”章节，具体的方法可以参见“模型选择”。

其实，这个式子和拉格朗日乘子法的结果差不多，如果逆用拉格朗日乘子法的话，那么，上面的损失函数可以是下面的这种优化模型：

$$\begin{aligned} J_{w} =\min_{w}\{\left|| Xw-y \right||^2\}\\ \left|| w \right||^2 \leq t \end{aligned}$$

在《线性回归》中，给出了线性回归的损失函数可以写为：

$$\left \| Xw-y \right \|^{2}=(Xw-y)^T(Xw-y)$$

关于参数$w$求导之后：

$$X^T(Xw-y) + X^T(Xw-y)=0$$

其解为：

$$w=(X^TX)^{-1}X^Ty$$

这里，脊回归的损失函数为：

$$\left \| Xw-y \right \|^{2} +\alpha\left|| w \right||^2 =(Xw-y)^T(Xw-y)+\alpha w^Tw$$

关于参数$w$求导之后：

$$X^T(Xw-y) + X^T(Xw-y) + \alpha w=0$$

其解为：

$$w=(X^TX+\alpha I)^{-1}X^Ty$$

下面给出一个脊回归简单的代码示例，这个代码显示了不同的alpha对模型参数$w$的影响程度。alpha越大，则$w$的数值上越小；alpha越小，则$w$的数值上越大，注意所生成的图片为了更好的观察，将x轴做了反转。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

"""
author ： [email protected]
time : 2016-06-03-14-34

脊回归测试代码
这里需要先生成一个线性相关的设计矩阵X，再使用脊回归对其进行建模
脊回归中最重要的就是参数alpha的选择，本例显示了不同的alpha下
模型参数omega不同的结果

"""

print(__doc__)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import linear_model

# 这里设计矩阵X是一个希尔伯特矩阵（Hilbert matrix）
# 其元素A（i,j）=1(i + j -1),i和j分别为其行标和列标
# 希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态
# 即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化
# 这里设计矩阵是一个10x5的矩阵，即有10个样本，5个变量
X = 1. / (np.arange(1, 6) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis])
y = np.ones(10)

print '设计矩阵为：'
print X

# alpha 取值为10^（-10）到10^（-2）之间的连续的200个值
n_alphas = 200
alphas = np.logspace(-10, -2, n_alphas)
print '\n alpha的值为：'
print alphas

# 初始化一个Ridge Regression
clf = linear_model.Ridge(fit_intercept=False)

# 参数矩阵，即每一个alpha对于的参数所组成的矩阵
coefs = []
# 根据不同的alpha训练出不同的模型参数
for a in alphas:
    clf.set_params(alpha=a)
    clf.fit(X, y)
    coefs.append(clf.coef_)

# 获得绘图句柄
ax = plt.gca()
# 参数中每一个维度使用一个颜色表示
ax.set_color_cycle(['b', 'r', 'g', 'c', 'k'])

# 绘制alpha和对应的参数之间的关系图
ax.plot(alphas, coefs)
ax.set_xscale('log')    #x轴使用对数表示
ax.set_xlim(ax.get_xlim()[::-1])  # 将x轴反转，便于显示
plt.grid()
plt.xlabel('alpha')
plt.ylabel('weights')
plt.title('Ridge coefficients as a function of the regularization')
plt.axis('tight')
plt.show()

基于交叉验证的脊回归

在前面提到过，脊回归中，alpha的选择是一个比较麻烦的问题，这其实是一个模型选择的问题，在模型选择中，最简单的模型选择方法就是交叉验证（Cross-validation），将交叉验证内置在脊回归中，就免去了alpha的人工选择，其具体实现方式如下：

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

"""
author ： [email protected]
time : 2016-06-19-20-59

基于交叉验证的脊回归alpha选择
可以直接获得一个相对不错的alpha

"""


print(__doc__)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import linear_model


# 这里设计矩阵X是一个希尔伯特矩阵（Hilbert matrix）
# 其元素A（i,j）=1(i + j -1),i和j分别为其行标和列标
# 希尔伯特矩阵是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态
# 即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化
# 这里设计矩阵是一个10x5的矩阵，即有10个样本，5个变量
X = 1. / (np.arange(1, 6) + np.arange(0, 10)[:, np.newaxis])
y = np.ones(10)

print '设计矩阵为：'
print X

# 初始化一个Ridge Cross-Validation Regression
clf = linear_model.RidgeCV(fit_intercept=False)

# 训练模型
clf.fit(X, y)

print
print 'alpha的数值 : ', clf.alpha_
print '参数的数值：', clf.coef_

其运行结果如下：

设计矩阵为：
[[ 1.          0.5         0.33333333  0.25        0.2       ]
 [ 0.5         0.33333333  0.25        0.2         0.16666667]
 [ 0.33333333  0.25        0.2         0.16666667  0.14285714]
 [ 0.25        0.2         0.16666667  0.14285714  0.125     ]
 [ 0.2         0.16666667  0.14285714  0.125       0.11111111]
 [ 0.16666667  0.14285714  0.125       0.11111111  0.1       ]
 [ 0.14285714  0.125       0.11111111  0.1         0.09090909]
 [ 0.125       0.11111111  0.1         0.09090909  0.08333333]
 [ 0.11111111  0.1         0.09090909  0.08333333  0.07692308]
 [ 0.1         0.09090909  0.08333333  0.07692308  0.07142857]]

alpha的数值 :  0.1
参数的数值： [-0.43816548  1.19229228  1.54118834  1.60855632  1.58565451]