分治法（1）数学表示

基本思想
使用分治法就是将问题的输入集合拆分成多个子集，然后分别处理，最后再将结果合并。

基本定义
设问题的解决方案为 $Y=F(X)$，其中 $X$ 为问题的输入集合， $F$是问题的处理方法， $Y$是问题的解。将 $X$拆分成多个子集以后，设这些子集的集合为 $\mathbb{X}=\{X_i | i \geq1, i>n \}$，则 $\mathbb{X}$ 满足以下条件：
$X_1 ++ X_2 ++ ...++X_n = X$

其中 $++$表示集合连接符，用于直接连接两个子集，并保持原来的顺序，如 $[1,2,3] ++ [4,5] = [1,2,3,4,5]$。

在拆分以后，分治法对每个子集独立处理，即 $Y_i = F(X_i)$，其中 $X_i \in \mathbb{X}$，则最终结果为：
$Y = \mathrm{Marge}(Y_1, Y_2, ..., Y_n)$

其中，Merge函数用于将所有的子结果 $Y_i$ 进行合并的函数。

补充说明
如果不考虑子集合的顺序，可以将 $\mathbb{X}$表示如下：
$\begin{cases} X_1 \cup X_2 \cup X_3 ... \cup X_n = X\\ X_i \cap X_j = \empty, i \neq j \:\mathrm{and}\: X_i, X_j \in \mathbb{X} \end{cases}$

例如， $[1,2,3,4,5]$ 可以被拆分为奇数和偶数两个集合 $[1,3,5]$ 和 $[2,4]$.

知识扩展
在并行计算中，尤其是在著名的 MapReduce 框架中，map函数对应的就是 $F(X_i)$，而 reduce 函数对应的是 Merge( $Y_1, Y_2,..., Y_n$) 函数。