先简单的了解一下分治法的主要思想:
主要分为三个步骤
1.分解：将原问题分解成若干个子问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例；
2.解决：解决这些子问题，递归的求解各个子问题，然而，若子问题规模足够小，则直接求解；
3.合并：将这些子问题的解成原问题的解。
下面我们先实现一个辅助过程Merge(A,p,q,r)，该函数有四个参数，其中A为一个序列（数组），p,q,r为A的下标值；
该过程中假设子数组A[p....q]和A[p+1...r]都已经排好序。Merge的功能就是将这两个子数组合并成一个新的数组（以排序）
下面是Merge函数的伪代码：
n1=q-p+1; //设置两个子数组大小；
n2=r-q;
Let L[1...n1+1]and R[1...n2+1] be new array;//定义两个子数组，并将子数组最后一个值设为“哨兵值”主要是为了方便判断
for i=1 to n1 //将L[i]数组赋值，填充吧。
L[i]=A[p+i-1];
for j=1 to n2 //将数组R赋值；
R[j]=A[q+j];
L[n1+1]=∞； //将两个子数组的最后一位设置为无穷大；
R[n2+1]=∞；
i=1; //设置初始比较的值
j=1;
for k=p to r //循环将数组A重新排序
if L[i]<=R[j] //如果当前比较值中L[i]小
A[k]=L[i]; //则将L中的当前值赋值给A；
i=i+1 //然后L下标加一，让L中的下一位元素继续比较
else
A[k]=R[j];
j=j+1;
下面我们将Merge看做是一个子程序，现在我们定义函数Merge-Sort(A,p,r)
伪代码如下：
Merge-Sort(A,p,r):
if(p<r)
q=(p+r)/2
Merge-Sort(A,p,q);
Merge-Sort(A,q+1,r);
Merge(A,p,q,r);
下面是一幅图形象的描述了并归排序的步骤
我们来分析它的时间复杂度：
当规模较小时，我们直接求解，所以我们需要常量时间。
假设我们把原问题分解成a个子问题时：每个子问题的规模是原问题的1/b，(这里a,b都为2），为了求解一个规模为n/b的子问题，我们需要T(n/b),a个这样的子问题，则所需时间为aT(n/b),假设我们分解的时间需要C(n),合并的时间需要D(n);
综上可得到如下表达式：
在分析：
分解步骤我们仅仅只需要只要中间值，需要常量时间，
解决两个规模为N/2的子问题，我们需要2T(n/2);
合并过程我们可以分析Merge过程易知为：O(n);
所以将D(n)、C(n)相加还是为O(n)
最终T(n)的递归式如下：
最后来分析T(n)具体为多少：
我们先把递归式重写如下：
下面我们用递归树详细描述：
一共有lgn +1层，每层的代价都是cn所以：
最后我们我们得出：T(n)=cn *(lgn +1)=cn* lgn +cn