二分图最大匹配
（一）、二分图
1、定义
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集 V可分割为两个互不相交的子集X和Y，并且图中每条边连接的两个顶点一个在 X中，另一个在 Y中，则称图G为二分图。
2、性质
定理：当且仅当无向图G的每一个环
的结点数均是偶数时，图G才是一个二分图。如果无环，相当于每的结点数为 0，故也视为二分图。
3、判定
如果一个图是连通的，可以用如下的染色法判定是否二分图：
我们把X部的结点颜色设为0，Y部的颜色设为1。
从某个未染色的结点u开始，做BFS或者DFS 。把u染为0，枚举u的儿子v。如果v未染色，就染为与u相反的颜色，如果已染色，则判断u与v的颜色是否相同，相同则不是二分图。
如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。
代码如下：
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX_N 100
bool flag=true;//记录答案
bool G[MAX_N][MAX_N];//邻接矩阵
int m,n,Col[MAX_N+5];//记录边数、结点数和结点的颜色
queue<int>Q;//定义队列进行拓展
void Bfs(int x){
Q.push(x);//初始结点入队
Col[x]=0;//颜色为0
while(!Q.empty()){
int p=Q.front();
Q.pop();
for(int i=1;i<=n;i++)
if(G[p][i]){//枚举相连结点
if(Col[i]==Col[p])//根据判定，相同颜色则不为二分图
flag=false;//记录答案
else if(Col[i]==-1){
Col[i]=!Col[p];//与之相反的颜色
Q.push(i);//入队拓展
}
}
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u][v]=G[v][u]=true;
}
memset(Col,-1,sizeof Col);//初始状态都为-1
for(int i=1;i<=n;i++)//需要枚举每个结点，考虑多个连通块的情况
if(Col[i]==-1)
Bfs(i);
if(!flag) puts("False");
else puts("True");
}（二）、二分图的匹配
1、二分图的最大匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中， M的边集{E}中的任意两条边都不交汇于同一个结点，则称M是一个匹配。
图中加粗的边是数量为2的匹配。
选择边数最大的子图称为最大匹配问题
如果一个匹配中，图的每个顶点 都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配 ，也称作完备匹配。
图中所示为最大匹配，但不是完全匹配
2、 König定理及其证明
最小覆盖点数=最大匹配数
证明：首先，我们要抓住二分图最大匹配后的特点，此时，不存在增广路。如上图所示，该图为不完整的最大匹配后二分图。
红点为匹配点，蓝点未匹配。
对于一个点而言，他所连接的有这三种情况：
1、只连接了红点；
2、只连接了蓝点；
3、连接了红点和蓝。
在上面的图中，x与y所连接的边是匹配边。x连接了红点和蓝点， 这个时候y所连接的点一 所连接的点一定没有蓝点，如果有，就是一条新的增广路那么该图就不是最大匹配了。
在最大匹配图中不会出现一条边同时连接着两个蓝点。那么，对于一条边而言只有两种情况：
1、两端的点是红点；
2、两端的点一个红色，一个蓝色。
可知，一条边上，一定有红点，那么我们就选择红点作为覆盖点。
对于上面的匹配边xy，我们无论是选择x还是y都可以覆盖xy这条边， 但是对于图中的蓝点而言这条边， 但是对于图中的蓝点而言这条边， 但是对于图中的蓝点而言这条边， 但是对于图中的蓝点而言这条边，只能选择x作为覆盖点去覆盖那条边，这样，我们就选择x作为覆盖点，它所覆盖的边中既包括了与他相连的那些蓝点的边，也包括了xy这条匹配边。因为y点没有蓝色连接点，所以y不是必须选择的覆盖点，它与那些红点相连的边都可以选择那些红点来覆盖。所以，对于一条匹配边而言，我们只需要选择其中一个点就可以覆盖完整个二分图里的边了。
所以最小覆盖点数等于大匹配数。
3、最小边覆盖与最大独立集
最小边覆盖=最大独立集=总节点数-最大匹配数
（三）、增广路径
1、定义
增广路径的定义：设M为二分图G**已匹配边的集合，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径（P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可），并且属M的边和不属M的边 (即已匹配和待的边)在P上交替出现**，则称P为相对于M的一条增广路径。
增广路径是一条“交错轨”。也就说 , 它的第一条边是目前还没有参与匹配的 ,第二条边参与了匹配 ,第三条边没有······最后一条边没有参与匹配 ,并且起点和终还没有被选择过，这样交错进行 ,显然 P有奇数条边。
2、性质
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
(1)P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配。
(2)P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’ 。
(3)M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
3、寻找增广路
红边为三条已经匹配的边。从X部一个未匹配的顶点x4 开始，找一条路径：找一条路径：
x4, y3, x2, y1, x1, y2
因为y2是Y部中未匹配的顶点，故所找路径是增广路径。
其中有属于匹配M的边为 {x2,y3},{x1,y1}
不属于匹配的边为{x4,y3},{x2, y1}, x1,y2}
可以看出：不属于匹配的边要多一条
如果从 M中抽走 {x2,y3},{x1,y1}并加入
{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}，也就是将增广路所有的边进行 “反色”，则可以得到四条边的匹配M’={{x3,y4}, {x4,y3},{x2, y1},{x1,y2}}
容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对。另外,单独的一条连接两个未匹配点边显然也是交错轨。可以证明 ,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配。这也就是匈牙利算法的思路。
可知四条边的匹配是最大匹配。
（四）、匈牙利算法
1、找增广路经的算法
我们采用DFS的办法找一条增广路径：
从X部一个未匹配的顶点u开始，找一个未访问的邻接点v（v一定是Y部顶点）。对于 v，分两种情况：
(1)如果v未匹配，则已经找到一条增广路。
(2)如果v已经匹配，则取出v的匹配顶点w(w一定是X部顶点)，边 (w,v)目前是匹配的，根据“取反”的想法，要将(w,v)改为未匹配， (u,v)设为匹配，能实现这一点的条件是看从w为起点能否新找到一条增广路径P’ 。如果行，则u-v-P’ 就是一条以u为起点的增广路径。 为起点的增广路径。
2、实践
匈牙利算法
/************匈牙利算法**************/
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAX_N 512
vector<int>Adj[MAX_N];
int n,m,ans;
void AddEdge(int u,int v){
Adj[u].push_back(v);
Adj[v].push_back(u);
}
/**********读入数据，建图*************/
void Init(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
int si,k;
scanf("%d",&si);
for(int j=1;j<=si;j++){
scanf("%d",&k);
k+=n;
AddEdge(i,k);
}
}
}
/************深搜找增广路************/
bool Vis[MAX_N+1];
int Match[MAX_N+1];
bool Dfs(int u){
for(int i=0;i<Adj[u].size();i++){
int v=Adj[u][i];
if(Vis[v])
continue;
Vis[v]=true;
if(!Match[v]||Dfs(Match[v])){
Match[v]=u;
Match[u]=v;
return true;
}
}
return false;
}
/*********匈牙利算法主函数**********/
void Solve(){
for(int i=1;i<=n;i++){
memset(Vis,false,sizeof Vis);
if(!Match[i])
if(Dfs(i))
ans++;
}
}
int main(){
Init();
Solve();
printf("%d\n",ans);
}3、算法分析
算法的核心是找增广路径过程DFS
对于每个可以与u匹配的顶点v，假如它未被匹配，可以直接用 v与u匹配；
如果v已与顶点w匹配，那么只需调用DFS(w)来求证w是否可以与其它顶点匹配，如果DFS(w)返回 true的话，仍可以使v与u匹配；如果DFS(w)返回false,则检查u的下一个邻接点 ······
在DFS 时，要标记访问过的顶点（vis[j]=true），以防死循环和重复计算；每次在主过程中开始一次DFS前，所有的顶点都是未标记。
主过程只需对每个X部的顶点调用DFS ，如果返回一次 true，就对最大匹配数加一；一个简单的循环就求出了最大匹配数目。
时空分析
时间复杂度：
找一次增广路径的时间为：
邻接矩阵： O(n^2)
邻接表： O( n+m)
总时间：
邻接矩阵： O(n^3)
邻接表： O(nm)
空间复杂度：
邻接矩阵： O(n^2)
邻接表： O( m+n)
（五）、例题
1、最小点覆盖
（1）、POJ1325 Machine Schedule
（2）、POJ3041 Asteroids
（3）、POJ2226 Muddy Fields
2、最小边覆盖
（1）、POJ2724 Purifying Machine
（2）、POJ3020 Antenna Placement