一、命题
命题：陈述句，有唯一真值/非真既假（不一定知道）
简单命题/命题常元：真值确定。
命题变元p：常用来表示命题。只有明确表示某个命题时才有具体的含意和确定的真值。
命题联结词/命题运算符：否定联结词┐、合取联结词∧、析取联结词∨、蕴含联结词→、与非联结词、或非联结词
p→q：当且仅当p真q假时，p→q为假（因此它和┐p∨q等值）。即p为假时，p→q必定为真
⟷：当且仅当、充要条件、反之亦然
二、命题公式
命题公式/命题形式/合式公式/公式：
（1）可满足式：非重言的可满足式
重言式/永真式
（2）矛盾式/永假式（不存在成真指派）
命题公式不是命题，只有当公式中的每一个命题变项都被赋以确定的真值时，公式的真值才被确定，从而成为一个命题。
三、命题逻辑的等值演算
A⟺B：A和B有等值关系。对任意真值指派，A与B取值相同。A⟷B为永真式。
等值关系一般通过真值表法或者等值演算法得到。
而不等值，只能通过真值表法，找到某个真值指派使得一个为真一个为假
德摩根律：┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B
蕴含等值式：A→B⟺┐A∨B
吸收律：A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A
归谬式：(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A
例题：
p→(q→r)
⟺┐p∨(┐q∨r)
⟺(┐p∨┐q)∨r
⟺┐(p∧q)∨r
⟺(p∧q)→r
四、范式
由有限个文字的析取所组成的公式称为析取式；由有限个文字的合取所组成的公式称为合取式
形如A1∨A2∨…∨An的公式称为析取范式DNF（其中Ai为合取式）；形如A1∧A2∧…∧An的公式称为合取范式CNF（其中Ai为析取式）
任一命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式，但析取范式和合取范式可能不是惟一的。
极小项q1∧q2∧…∧qn：一共2n种解释，每个极小项只在一个解释下为真。每个极小项对应一个二进制数，该二进制数正是该极小项真值为真的指派，即m0可表示┐q1∧┐q2∧…∧┐qn
极大项q1∨q2∨…∨qn：一共2n种解释，每个极大项只在一个解释下为假。每个极大项对应一个二进制数，该二进制数正是该极小项真值为假的指派，即M0可表示q1∨q2∨…∨qn
mi∧mj⟺F
Mi∨Mj⟺T
mi⟺┐Mi
若由n个命题变项构成的析取范式中所有的合取式都是极小项，则称其为主析取范式。
若由n个命题变项构成的合取范式中所有的析取式都是极大项，则称其为主合取范式。
例题：
┐(p∨q)⟷(p∧q)
⟺(┐(p∨q)∧(p∧q))∨((p∨q)∧┐(p∧q))
⟺(┐p∧┐q∧p∧q)∨((p∨q)∧(┐p∨┐q))
⟺((p∨q)∧(┐p∨┐q))
⟺(p∧┐p)∨(p∧┐q) ∨(q∧┐p)∨(q∧┐q)
⟺(p∧┐q) ∨(q∧┐p) 为析取范式
┐(p∨q)⟷(p∧q)
⟺(┐(p∨q)→(p∧q))∧((p∧q)→┐(p∨q))
⟺((p∨q)∨(p∧q))∧(┐(p∧q)∨┐(p∨q))
⟺((p∨q)∨(p∧q))∧((┐p∨┐q)∨(┐p∧┐q))
⟺(p∨q)∧(┐p∨┐q)为合取范式
⭐️例题：
((p∨q)→r)→p
要求主析取范式首先要求得析取范式为p∨(q∧┐r)
⟺( p∧(┐q∨q)∧(┐r∨r) )∨( (┐p∨p)∧(q∧┐r) )
⟺(p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨ (p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r)∨ (┐p∧q∧┐r)∨(p∧q∧┐r)
⟺m4∨m5∨m6∨m7∨m2∨m6
⟺m2∨m4∨m5∨m6∨m7
⟺∑(2, 4, 5, 6, 7)
要求主合取范式首先要求得合取范式为 (p∨q)∧(p∨┐r)
⟺(p∨q∨(r∧┐r))∧(p∨(q∧┐q)∨┐r)
⟺(p∨q∨r)∧(p∨q∨┐r) ∧(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨┐r)
⟺(p∨q∨r)∧(p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r)
⟺M0∧M1∧M3
⟺∏(0, 1, 3)
五、推理
判断一个推理形式是否正确，从定义上讲就是判断一个蕴涵式是否是重言式
推理的形式结构为{A1, ..., Ak} |-B
推论形式正确当且仅当A1∧...∧Ak→B为重言式
当且仅当前提为真结论为假时，推论不成立
前提A1∧...∧Ak为假时，推论必成立
判断重言式是否成立可以通过真值表法、等值演算法、析取范式法
推理定律
附加律A⟹(A∨B)
化简律(A∧B) ⟹A
假言推理/分离式 (A→B)∧A⟹B
拒取式(A→B)∧┐B⟹┐A
析取三段论(A∨B)∧┐B⟹A
假言三段论(A→B)∧(B→C)⟹(A→C)
等价三段论(A⟷B)∧(B⟷C)⟹(A⟷C)
构造线二难(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⟹(B∨D)、(A→B)∧(┐A→B)⟹B
破坏性二难(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)⟹(┐A∨┐C)
自然推理系统
（1）附加前提证明法：
(A1∧...∧Ak)→(A→B)
⟺(A1∧...∧Ak)→(┐A∨B)
⟺┐(A1∧...∧Ak)∨(┐A∨B)
⟺┐(A1∧...∧Ak∧A)∨B
⟺(A1∧...∧Ak∧A)→B
即将结论中的前件作为推理的前提，使结论为B
（2）归谬法：相容（可满足式）、不相容（矛盾式）
(A1∧...∧Ak)→B
⟺┐(A1∧...∧Ak)∨B
⟺┐(A1∧...∧Ak∧┐B)
若(A1∧...∧Ak∧┐B)为矛盾式，则(A1∧...∧Ak)→B为重言式
（3）消解证明法：
把前提中所有公式、结论的否定，都化成等值的合取范式
随后不断引入和消解
直到得到空式，则证明推理是正确的
举例：
如果三角形的两边相等，则其所对的角相等；一个三角形的两边不相等，所以其所对角不相等。
设 p: 三角形的两边相等
q: 三角形的两边所对的角相等
则推理的形式结构为 (p⟹q)∧┐(p⟹┐q)
转换为蕴涵式形式(p→q)∧┐(p→┐q)却不是重言式，表明推理不正确，或论证并非有效