1.1 命题符号化及联结词

命题

能判断真假的陈述句

复合命题

p且q： $p\lor q$
p或q： $p\land q$
非p： $\neg p$
如果p则q： $p\to q$ , $\neg p\land q$
p当且仅当q： $p\leftrightarrow q$

1.2 命题公式及分类

命题公式

由命题变项组合的复合命题形式
一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的。

成真赋值：指定一组值使得取值为真
成假赋值：指定一组值使得取值为假
永真式（重言式）：所有赋值下取值均为真
永假式（矛盾式）：所有赋值下取值均为假
可满足式：至少存在一组成真赋值

n个命题变项共有 $2^n$ 个可能的赋值，对于每个赋值，真值函数的函数值非0即1，于是n个命题变项共形成 $2^{2^n}$ 个不同的真值函数。

1.3 等值演算

德摩根定律：

$\neg (A\lor B)=\neg A \land \neg B$
$\neg (A\land B)=\neg A \lor \neg B$

吸收律

$A \lor (A \land B)=A$
$A \land (A \lor B)=A$

蕴涵等值式

$A\to B=\neg A\land B$

1.4 范式

1.4.1 析取范式

仅由有限个简单合取式构成的析取式

极小项

设有n个命题变项，若在简单合取式中每个命题变项及其否定有且仅有一个出现1次，则这样的简单合取式称为极小项。一般，n个命题变项共产生 $2^n$ 个极小项

主析取范式

如果公式A中的析取范式的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。

定理：任何命题公式都有唯一的主析取范式。
用途：

判断两命题公式是否等值
$p\Longleftrightarrow q$ 等价于p与q有相同的主析取范式
判断命题公式的类型
设A是含有n个命题变项的命题公式，
（1）A为永真式等价于A的主析取范式含全部 $2^n$ 个极小项
（2）A为永假式等价于A的主析取范式不含任何极小项
（3）A为可满足式等价于A的主析取范式至少含有1个极小项

1.4.2 合取范式

仅由有限个简单析取式构成的合取式

极大项

设有n个命题变项，若在简单析取式中每个命题变项及其否定有且仅有一个出现1次，则这样的简单析取式称为极大项。一般，n个命题变项共产生 $2^n$ 个极大项

主合取范式

如果公式A中的合取范式的简单析取式全是极大项，则称该合取范式为A的主合取范式。

1.5 联结词

p与q的否定（与非式）： $\neg (p\lor q) \Longleftrightarrow p\uparrow q$
p或q的否定（或非式）： $\neg (p\land q) \Longleftrightarrow p\downarrow q$

1.7 推理理论

若 $(A_1 \land A_2,... \land A_n)\to B$ 为永真式，则称 $A_1 ,A_2,... ,A_n$ 推出结论B的推理正确，B是 $A_1 ,A_2,... ,A_n$ 的逻辑结论或有效结论，记作 $(A_1 \land A_2,... \land A_n)\Rightarrow B$
注意：推理正确不能保证结论正确，因为前提可能是错的。
永真式：真 $\Rightarrow$ 真 ，假 $\Rightarrow$ 真/假

重要的推理定律

附加： $A \Rightarrow (A \lor B)$
化简： $(A\land B) \Rightarrow A$
假言推理： $(A \to B)\land A\Rightarrow B$
拒取式： $(A \to B)\land \neg B\Rightarrow \neg A$
析取三段式： $((A \lor B)\land \neg A)\Rightarrow B$
假言三段式： $((A \to B)\land (B \to C) \Rightarrow (A \to C)$

离散数学复习--第一章：命题逻辑