离散数学简单复习知识点汇总

1. 命题是非真必假的陈述句。
2. 联结词：与原子命题一起构成复合命题。
3. 原子命题公式：命题常元、命题变元同城为原子命题公式，简称原子公式。

4. 合式公式是由下列规则形成的字符串：

      (1) 真值 T 和 F 是合式公式。

      (2) 原子命题公式是一个合式公式。

      (3) 若 A 是合式公式，则 ┐A 是合式公式。

      (4) 若A和B是合式公式，则A∧B、A∨B、 A→B和A«B都是合式公式。

      (5) 经过有限次地使用(1)(2)(3)(4)所得到的结果，都是合式公式。

5. 等价式具有以下性质

   •自反性：对任意公式A，有AÛA。

   •对称性：对任意公式A 和B，若AÛB，则BÛA。

   •传递性：对任意公式A、B 和C，若AÛB、BÛC，则AÛC。

6. 基本等价式——命题定律

7. 在一个永真式A中，任何一个原子命题变元R出现的每一处，用另一个公式代入，所得公式B 仍是永真式。本定理称为代入规则。

8. 设A1是合式公式A的子公式，若A1ÛB1，并且将 A 中的 A1用 B1 替换，得到公式B，则 AÛB。本定理称为

   替换规则。这种替换称为等价替换。

9. 在给定的仅使用联结词 ┐、∧和∨的命题公式 A 中，若把∧和∨互换，F 和T 互换而得到一个命题公式A*，

   则称A*为A的对偶式，同时A也是A*的对偶式。A 与A*互为对偶式。

10. 

11. 蕴含式性质：自反性、传递性

12. 蕴含式的证明方法：

    •真值表法

    •前件真推导后件真方法

        设公式的前件A为真，若能推导出后件B也为真，则
        条件式 A→B是永真式，故蕴涵式AÞB成立

    •后件假推导前件假方法

        设公式的后件B为假，若能推导出前件A也为假，则
        条件式 A→B是永真式，故蕴涵式AÞB成立。 

13. 基本蕴含式：

14.  推理有效是指他的结论是他的前提的合乎逻辑的结果，也即，如果它的前提都为真，那么所得的结论也必然为真，而并不是要求前提或结论一定为真或假。
15. 推理规则：P规则——前提的引入使用、T规则——前面已导出的有效结论可作为后续推导的前提引入、CP规则——若推出的有效结论为条件式R->C时，只需将其前件R加入到前提中作为附加前提，再去推出后件C即可。
16. 命题逻辑的推理理论：真值表法、演绎法、间接证法
17. 命题逻辑和谓词逻辑的区别（自己的理解）：比如经典的亚里士多德三段论，就是一个非常典型的命题逻辑，我们通过分析三个语句之间的关系，可以推导出结论，但是这种命题之间的关系并不一定正确，很容易举出反例。因此命题逻辑在研究推理时显得不那么严谨和充分，因此我们需要深入到命题之中，去寻找命题之中各成分之间的联系。因此，谓词逻辑应运而生，我们开始通过谓词逻辑来进行命题的推理与分析。
18. 全称量词后跟一个条件式，特性谓词作为其前件出现；存在量词后跟一个合取式，特性谓词作为一个合取项出现。
19. 斯科伦范式：每个存在量词均在全称量词之前，按此规定得到的范式行驶，称为斯科伦范式。
20. 全称量词消去规则、存在量词消去规则、存在量词产生规则、全称量词产生规则
21. 谓词逻辑的归结推理：子句集是不可满足的，当且仅当S中存在一个反驳；谓词逻辑归结推理的大概步骤是，首先将合式化为前束范式，接着化为AI斯科伦范式，从而得到子句集，继而求该子句集是否存在反驳。
22. 康托尔集合论三大公理：外延公理——两个集合中各个元素都相同，则他们相等；抽象公理——任给一个性质，都有一个满足该性质的客体所组成的集合。（实际上这个公理是不严谨的，后来出现了罗素悖论）；选择公理。为了解决罗素悖论，提出了子集公理。
23. 包含关系是自反的，反对称的和可传递的，具有这三种性质的关系称为偏序关系；
24. 真子集的性质：非自反的、非对称的、传递的。
25. 偶集公理和联集公理类似于并集和交集的概念。
26. 关系是一个由有序对作为成员构成的集合。
27. 等价关系是自反的、传递的、对称的。区别于偏序关系，注意一下。
28. 单射，满射和双射（一一对应）
29. 极大元和极小元，是对特定的集合的子集而言的，可能不唯一。相对应的最大元和最小元也是相对集合而定的，一般要么没有要么就唯一。
30. 上下界也可能是不唯一的，上下确界是唯一的。由此引出格的概念，偏序集有上下确界则称为格。
31. 欧拉图：图G中的一圈（或回路），若它通过G中的每一条边（或弧）恰好一次，则称该圈为欧拉圈，具有这种圈的图称为欧拉图。与此相对的就是哈密顿图：图G中的一圈，若它通过G中的每个结点恰好一次，则该图称为哈密顿图，具有哈密顿圈的图称为哈密顿无向图。
32. 完全图：是一个简单的无向图，其中每对不同顶点之间都敲好有一条边相连，完全图必是哈密顿图。
33. 哈密顿图的判定条件——必要条件：若非连通图G=<V,E>是哈密顿图，S是V的任意非空真子集，则w（G-S）≤|S|。
34. 有哈密顿路的必要条件：任取一结点a用A标记，所有与它邻接的结点标记为B，继续不断用A标记邻接于B的结点，再用B标记所有邻接于A的结点，直到全部标记完毕。如果图中有一条哈密顿路，那么它必须交替通过标记A的结点和标记B的结点，故标记A的结点数与标记B的结点数一样，或者相差1。若不满足这个条件，则图中不存在哈密顿路，继而不是汉密顿图。
35. 二分图：图的顶点能分成两个不相交的集合。
36. 对应二分图有完美匹配和最大匹配：最大匹配指的是一个匹配中所含匹配边数最多的匹配；完美匹配指的是如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么他就是一个完美匹配。
37. 匈牙利算法——自行查阅
38. 判断一个图是否为平面图：直观法、库拉托夫斯基定理、欧拉公式 
39. 图的同构：两个图的顶点集合之间能够建立一一对应的映射，对应的顶点之间保持边的一一对应关系。
40. 图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式向联系的数学模型。
41. 仅有孤立结点的图称为零图，若一个图中只含有一个孤立结点，该图称为平凡图。
42. 结点入度与出度的和称为结点的度数，对应的有握手定理
43. 无向图中若每个结点的度是K，图G称为K度正则图。
44. 同构：要求结点之间是双射，还要求这种对应关系保持结点间的邻接关系。
45. 代数结构：有一个非空集合，还有一些定义在集合S上的运算
46. 一些简单的概念：零元和幺元
47. 同态的定义、同态与同构，同构映射是双射
48. 同余关系：一种特殊的等价关系，代数系统在确定划分之后，系统中两个元素经过运算之后又产生新的元素，当原来的两个元素属于划分中同一分块时，经过运算后产生的新元素若属于同一分块则为同余关系。
49. 半群：代数结构满足结合律称为半群，若还有单位元则是独异点，若每个元素还含有逆元，则为群，若还满足可交换性，则是Abel群。
50. 平凡子群：H包含于G，且H={e}或H=G时<H,*>是平凡子群；质数阶群无非平凡子群（拉格朗日定理）
51. 环：设（R，+，*）为一个代数结构，若其满足（R，+）构成交换群，（R，*）构成半群，*运算对+运算满足分配律，则称（R，+，*）是一个环，若还没有零因子，则是个整环。
52. 域：设（R，+，*）为一个代数结构，若其满足（R，+）构成交换群，（R-{0}，*）构成交换群，*运算对+运算满足分配律，则称（R，+，*）是一个域。
53. 域都是整环，有限整环是域。