离散数学及其应用知识点总结

马上要小测了，总结了一下知识点，不够全，可能会补。引用网上的方法和同学的方法，不一一列举。

图

1. 欧拉环：每条边只经过一次，且要回到起点。

   判断方法：首先必须是强连通的，对于有向图，入度等于出度；对于无向图，度数为奇的点是0个

   欧拉开路：每条边只经过一次，且不用回到起点。

   判断方法：首先必须是强连通的，对于有相图，两个顶点出入度不相等，起点出度比入度大1，终点入度比出度大1；对于无向图，度数为奇数的点个数为2，是起点和终点

2. 哈斯图：表示偏序关系，先画一个元素，比它大的画在上方，不可比的画在旁边，注意只要是可比就一定会有一条线

3. 哈斯图里minimal点：就是下面没有了的点

4. 欧拉定理：planar connected graph: r=e-v+2 r是区域(面有时候也叫face),e是边，v是点,注意e是每个面边数加起来除2

5. 欧拉定理推论：每个r的e大于等于3,所以 $3r/2\le e$,

   扫描二维码关注公众号，回复： 11426939 查看本文章

6. degree*v=2e：度数之和是边的两倍

7. $C_n$就是n个点的环， $K_n$就是n个点都相连的图， $K_{n,m}$就是分成两部分，n个点和m个点分别相连，但是每部分中间不相连, $W_n$就是 $C_n$中间多了一个点和其他的点相连， $Q_n$就是 $2^n$个点，可能是立方体

8. 强连通图：就是有一个回路可以至少经过每个顶点一次；找强连通图：首先找到两到三个点可以有回路，把它们当作一个整体，然后再找一个点，看看是不是强连通的，依次类推，有时候一个点之前不是，但加着加着就是了

9. 哈密顿图：每个点只经过一次，充分条件是强连通

   判断的方法：取一点用A标记，与A邻接的点标B,与B相邻的标A，由于需要接替经过AB,A与B数目一样则存在哈密顿回路，|A-B|=1则存在哈密顿通路

10. 找到长度为n的a到b的路径个数，就是关联矩阵 $A^n$中 $[A]_{ab}$的值

树

1. 树：没有环的连通的图，任意两个点只有一条路径
2. m-ary tree , height :h , leave: $m^h$,
3. full m-ary tree internal vertex: i, 点: n=mi+1,叶：l=[(m-1)n+1]/m
4. 计算生成树： $A=diag\{d_1,d_2,..d_n\}$就是每个点的度数为主对角元的对角阵， $B$是连接矩阵，就是有几条边，那个元就是几， $C=A-B$，生成树的个数是C任意 $n-1$阶余子式
5. 问不同构的n个点的tree有几个，就是数同分异构体，主链长度依次递减，但是注意一个点上面可以连不止4个点，注意如果是rooted则把每一种同分异构画出来，上面插氢的个数
6. 遍历的顺序：preorder:从最外面的开始,根->左->右的顺序遍历 inorder :从最左边开始，左->根->右 postorder: 从最左边开始，左->右->根

逻辑

1. 判断是不是永真式，可以试一试先带几个值进去,0或者1，如果成立，一般是对的，真的有空的时候再验证

关系

1. R是一个集合，集合里的元素是(x,y),x,y满足一个式子
2. $R*S$是指 $ aR*Sb $,存在$c,aRc,cSb$
3. n个元素，anti-symmetric： $2^n*3^{\frac{n^2-n}{2}}$ ，symmetric $2^{\frac{n^2+n}2}$ , relexive: 对角线为1，irrelaxive 对角线为 0, 都是 $2^{n^2-n}$,关系的总数是 $2^n$,多少种等价关系：把每个元素隔开来分成1,2,3…部分有几种方法，注意每个元素互不相同
4. 证明是等价关系：reflexive : aRb=>bRa, symmetric aRb=>bRa, transitive

集合

1. $P(A)$里都是子集，只能用 $\subset$,不能用 $\in$
2. A={a,{a}}这种，去掉括号就是A的元素，每个元素加上括号，再组合一下就是powerset

排列组合

1. 有时候看起来很复杂，比如4种挑10个，但是计算一下发现一个就12个，那么就是4种挑两个的问题

2. 遇到挑几个数的和是几的倍数，按余数分类

3. 允许空盒的情况下：

   球不同m，盒子不同n： $n^m$，每个球有n种选择，注意是盒子个数的m次

   球相同m，盒子不同n：非负不定方程解的划分(棍星模型) $C_{m+n-1}^m$，注意挑球数而不是盒子数

   如果对根有进一步要求，大于几最终的和就减掉几，小于几就考虑相反，注意大于几最后换成的是大于0，以及是整数大于号就要注意取大一个

   球相同m，盒子相同n：就是把一个整数m写成n个数的和，不考虑顺序，可以用字典序生成：先挑一个最小的，后一个数字只能比它大或者相等，从后面慢慢变大，依次试下去，凑和等于m。注意数顺序单增，不要忘记相等的情况

   球不同m，盒子相同n：先按球相同的列出所有可能，然后每一种分别选出来，注意相同的要除掉

   不允许空盒的情况下：

   球不同，盒子不同，必须字典序列出来再选出来

   球相同，盒子不同，字典序列出来不必选

   球不同，盒子相同，字典序列出来选出来注意除掉相同

   球相同，盒子相同，字典序列出来

4. 问某一项的系数是多少就正常的算就可以，不要忘记里面的系数

生成函数

1. $a_0+a_1x+...a_nx^n$就是a几就对应几次
2. 注意有时候x的次数会差几次或者差几项，所以头几项一定要写出来

数列

1. 求数列的通项：对于线性的 $c_na_n=c_{n-1}a+{n-1}+...c_1a_1+c_0$的递推关系，首先把a的阶数最小的项系数作为常数，前面阶数每高一阶未知数就高一次，改写成方程，解出解， $a_n=k_1r_1^n+...k_mr_m^n$，如果 $r_m$是单根， $k_m$就是常数，否则是重数减一次的n的多项式，系数要根据初始条件算
2. 如果递推关系后面有F(n),F(n)是n的m次多项式乘 $s^n$，那么如果s是前面的一个重根，重数是m，特解是n的m次多项式乘 $s^n$再乘 $n^m$，如果不是重根，那就是形式和原来的多项式一样，只是换一下系数。