2019数学三考研真题线性代数部分解析

01 选择题

一、5 设 $A$ 是四阶矩阵， $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。若线性方程组

$Ax=0$ 的基础解系中只有两个向量，则 $A^*$ 的秩等于（）

A. 0 $\quad$ B. 1 $\quad$ C. 2 $\quad$ D. 3
解：条件“若线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系中只有两个向量”告诉了矩阵 $A$ 的秩： $r(A)=4-2=2$ 。由 $r(A^*)$ 与 $r(A)$ 的关系：

$r(A^*)=\begin{cases} n, & r(A)=n;\\ 1, & r(A)=n-1;\\ 0, & r(A)<n-1.\end{cases}$

知，选 A.

一、6 设 $A$ 是三阶方阵， $E$ 是三阶单位阵，若 $A^2+A=2E$ ,且 $|A|=4$ 。则 $X^TAX$ 的规范形为（）

A. $y_1^2+y_2^2+y_3^2\quad \quad\quad \quad$ B. $y_1^2+y_2^2-y_3^2$

C. $y_1^2-y_2^2-y_3^2\quad \quad\quad \quad$ D. $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$

解：求 $X^TAX$ 的规范形关键是弄清楚正惯性指数和负惯性指数。本题的二次型是抽象的，条件“ $A^2+A=2E$ ”显然是告诉了 $A$ 的特征值满足关系： $\lambda^2+\lambda-2=0$ 。所以， $\lambda_1=-2, \lambda_2=1$ . 又因为 $\lambda_1\lambda_2\lambda_3=|A|=4$ , 所以 $\lambda_3=-2$ . 由特征值的符号知道，正惯性指数为1，负惯性指数为2，所以选C.

02 填空题

二、13 设

$A=\begin{pmatrix}1 & 0& -1 \\ 1& 1& -1\\0& 1 &a^2-1 \end{pmatrix},b=\begin{pmatrix}0\\1 \\ a\end{pmatrix}$ ,

$Ax=b$ 有无穷多解，则 $a= ( \quad ).$

解：由克莱默法则的逆否命题知， $|A|=0.$

$|A|=\begin{vmatrix}1 & 0& -1 \\ 1& 1& -1\\0& 1 &a^2-1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0& -1 \\ 0& 1&0\\0& 1 &a^2-1 \end{vmatrix}=a^2-1=0,$

所以， $a=1$ 或 $a=-1$ . 注意 $a=-1$ 时，增广矩阵化简为，

$(Ab)=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\1&1&-1&1\\0&1&0&-1\end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&1\\0&0&0&1\end{pmatrix},$

所以， $r(A)=2<r(Ab)=3$ , 此时无解，舍去 $a=-1$ . 当， $a=1$ 时， $r(A)=r(Ab)=2<3$ ,此时有无穷多解，所以填 $a=1$ .

03 解答题

三、20 已知向量组（I）

$\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}, \alpha_2=\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix},\alpha_3=\begin{pmatrix}1\\2\\a^2+3\end{pmatrix},$

(II) $\beta_1=\begin{pmatrix}1\\1\\a+3\end{pmatrix},\beta_2=\begin{pmatrix}0\\2\\1-a\end{pmatrix},\beta_3=\begin{pmatrix}1\\3\\a^2+3\end{pmatrix},$

若向量组(I)与(II)等价，求 $a$ 的值，并将 $\beta_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示.

解：令 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ , $B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3).$

$A$ 与 $B$ 等价当且仅当 $r(A)=r(B).$ 将 $(A B)$ 化为阶梯形.

$\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\1&0&2&1&2&3\\4&4&a^2+3&a+3&1-a&a^2+3\end{bmatrix}$

$\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&-1&1&0&2&2\\0&0&a^2-1&a-1&1-a&a^2-1\end{bmatrix}$

$\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&a^2-1&a-1&1-a&a^2-1\end{bmatrix}\quad (1)$

(1) 当 $a^2-1\neq0$ ，即 $a\neq \pm1$ 时，将上述矩阵第三行乘以

$\frac{1}{a^2-1}$ ,得，

$\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&1&\frac{1}{a+1}&-\frac{1}{a+1}&1\end{bmatrix},$

此时， $r(A)=r(B)$ , 故向量组(I)与(II)等价. 为了将 $\beta_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示, 解非齐次线性方程组 $(A \beta_3)$ ，

$(A\beta_3)\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&2&3\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\end{bmatrix}$

$\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\end{bmatrix},$

所以， $\beta_3=\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3.$

(2)将 $a=1$ 代入上面的公式（1），得，

$\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix},$

此时， $r(A)=r(B)$ , 故向量组(I)与(II)等价. 为了将 $\beta_3$ 用 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示, 解非齐次线性方程组 $(A \beta_3)$ ，（非齐次线性方程组的解法参阅）

$(A \beta_3)\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&1&1\\0&1&-1&-2\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

$\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&2&3\\0&1&-1&-2\\0&0&0&0\end{bmatrix},$

故齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系为

$\eta=\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}$ ,

非齐次方程组 $Ax=\beta_3$ 的一个特解为,

$\gamma_0=\begin{bmatrix}3\\-2\\0\end{bmatrix}$ ,

于是，

$\beta_3=\begin{bmatrix}3\\-2\\0\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}-2\\1\\1\end{bmatrix}$

$\beta_3=\begin{bmatrix}3-2k\\-2+k\\k\end{bmatrix},$

所以， $\beta_3=(3-2k)\alpha_1+(-2+k)\alpha_2+k\alpha_3.$

(3)将 $a=-1$ 代入上面的公式（1），得，

$\begin{bmatrix}1&1&1&1&0&1\\0&1&-1&0&-2&-2\\0&0&0&0&-2&0\end{bmatrix},$

因为 $r(A)<r(B)$ , 所以此时向量组(I)与(II)不等价. $\quad \square$

注：第（3）种情况，虽然向量组(I)与(II)不等价，但是 $\beta_3$ 却能被向量组（I）线性表出，且表示法与第（2）题相同.

三、21 已知矩阵

$A=\begin{bmatrix}-2&-2&1\\2&x&-2\\0&0&-2\end{bmatrix}与B=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&-1&0\\0&0&y\end{bmatrix}$

相似，（I）求 $x,y;$
(II)求可逆矩阵 $P$ ,使得 $P^{-1}AP=B.$

解：（I）由 $A$ 与 $B$ 相似，得 $tr(A)=tr(B)$ 且 $|A|=|B|$ ,所以得方程组，

$\begin{cases}x-4=y+1\\ 4(x-2)=-2y\end{cases}$

解得，

$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$

(II) 将 $y=-2$ 代入矩阵 $B$ , 由

$|\lambda E-B|=0,$

容易解得 $B$ ,从而 $A$ 的三个特征值为 $2,-1,-2$ , 它们有三个不同的特征值，从而可以对角化,令

$\Lambda=diag(2,-1,-2),$

由相似对角化理论，分别存在可逆矩阵 $P_1,P_2$ 使得，

$P_1^{-1}AP_1=\Lambda=P_2^{-1}BP_2,$

于是

$B=P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1},$

其中 $P_i(i=1,2)$ 是分别由 $A，B$ 特征向量（相应于特征值

$2,-1,-2$ ）组成的矩阵.

为了求 $P_1$ , 要解三个齐次线性方程组 $(\lambda_i E-A)=0,$

由于解齐次方程组的方法是一样的，所以下面我们只解一个作为例子：

当 $\lambda=2$ 时，

$\begin{bmatrix}4&2&-1\\-2&-1&2\\0&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&\frac{1}{2}&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix},$

得解向量，

$\eta_1=\begin{bmatrix}-1\\2\\0\end{bmatrix},$

同理，

$\eta_2=\begin{bmatrix}-2\\1\\0\end{bmatrix},\eta_3=\begin{bmatrix}-1\\2\\4\end{bmatrix},$

从而，

$P_1=\begin{bmatrix}-1&-2&-1\\0&1&2\\2&0&4\end{bmatrix}.$

$P_2$ 的解法与 $P_1$ 类似，兹不赘述, 只给出结果.

$P_2=\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&0&1\end{bmatrix}.$

由前面的分析，

$B=P_2P_1^{-1}AP_1P_2^{-1},$

所以第二问中的 $P=P_1P_2^{-1}$ , 这等价于解下面的矩阵方程：

$XP_2=P_1,$

为此，作分块矩阵：

$\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&3&0\\0&0&1\\-1&-2&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\-1&-1&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{bmatrix}$

所以，令

$P=\begin{bmatrix}-1&-1&-1\\2&1&2\\0&0&4\end{bmatrix},$

有 $P^{-1}AP=B.$ $\quad \square$

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