一，1）求极限$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+\sin x\right) ^{\dfrac {1}{x}}$.
2）$f(x) =\ln \left(x - \sqrt{1+x^2}\right) $ ，求 $f(0)^{(2k+1)}$，$ k$为自然数.
3）$f(x,y) = x^yy^x$,求$f(x,y)$的全微分.
二，计算下面积分
1）$\int_{-1}^{1} {\dfrac{1+x^2}{1+x^4}}dx$.
2）$\iiint _{V} {\dfrac{dxdydz}{(1+x+y+z)^{3}}}$，V={${x+y+z\leq{1}}, x,y,z\geq0$}.
3）$\oint_L{\dfrac{xdy-ydx}{x^2+y^2}}$,$L$是不过原点的简单封闭曲线.
三，1）判断$\sum_{n=1}^{\infty}\left({\sqrt[n]{n}-1}\right)^2$的敛散.
2）若$\sum_1^{\infty}a_n\sin^nx$在[0,$2\pi$]收敛，请问它是否一致收敛.
四，1）$f(x)$连续可微，$f(0)$不为$0$，其Maclaurin级数（Cauchy余项）：$f(x) = f(0)+f^{'}(0)x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!}\left(1-\theta\right)^nx^{n+1}$,
证明:$$\lim_{x\rightarrow0}\theta = 1-\sqrt [n]{\dfrac{1}{n+1}}.$$
2）$\{a_n\}$单调递减，$a_n\rightarrow0\left(当n\rightarrow0\right)$，证明：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n收敛\leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}n\left(a_n-a_{n+1}\right)$$收敛。
3）$f(x,y)$在$R^2$连续，存在单射$g：R\rightarrow R^2，$使$f\circ g = C,C$为常数（记不太清楚）.
(南开2019高代倒数第二题)已知$x_1+x_2+\cdots+x_n=0,x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$,证明:
\[x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_nx_1\leq\cos\frac{2\pi}{n}.\]
\textbf{提示.}利用瑞利商(Rayleigh quotient)和矩阵特征值.著名数学家樊畿(Ky Fan)教授曾经写过文章介绍这一类问题,此不等式其实是傅里叶分析中Wirtinger不等式的离散形式,参考梅加强《数学分析》或者任一本傅里叶分析.