考研线性代数考点总结

一.行列式

1.数字型行列式

  • 数字行列式的计算
  • 含零子式的分块计算

2.行列式的性质

  • |A|=|A^T|
  • 交换行列,行列式的值变号
  • 含公因子的提出或乘进去
  • 把某行的K倍加到另一行,行列式的值不变。
  • 行列式可以根据某一行或某一列分拆

3.抽象行列式

  • n阶或高阶行列式

    常规的重点行列式一定要掌握

  • 含有具体数字,有可能展开或递归

  • 一般把含有相同的划到一边组合再计算

4.计算性质

|A*|=|A|n-1

|A**|=|A|(n-1)方

一个矩阵为正交矩阵,并且行列式的值<0,则它的特征值必有-1.

二.矩阵

1.矩阵的基本运算

经典例题:

  • A的秩为1
  • (E+A)n 的二项式定理展开
  • |A|n
  • 二项式定理展开系数求和

例题请看世纪高教视频。

2.矩阵的幂运算

一般会用到P-1 BP的累乘

3.矩阵的初等变换

矩阵A经过有限次初等变化得到B,则A和B是等价的;等价带来的关系只有同时可逆、秩相同、行列式值相等,不包括特征值的对应关系。(所以在矩阵里,相似比等价“大”的地方就是相似的两个矩阵对应的特征值也相等)

4.伴随矩阵和可逆矩阵

  • 注意伴随矩阵和原矩阵的元素对应关系
  • 一般涉及到添加单位矩阵参与化简运算
  • 几个公式要记劳

小技巧:求某些矩阵运算后的行列式的值,不要被行列式影响,先取“绝对值”里面的矩阵运算化简,一般都是抽象矩阵,化简对了结果就出来了

秩的重要(易遗忘性质):

  • |r(A)-r(B)|<=r(A+/-B)<=r(A)+r(B)

5.矩阵方程

参考后面的线性方程组这一部分

三.向量

1.向量的运算

  • 加法(减法看成负数的加法)
  • 数乘(除法看作分数的乘法)
  • 内积(向量的独特运算)
  • 向量正交(内积为0)

2.线性相关问题

也可以理解为线性无关问题

  • 定义:零解非零解的讨论(用的少,便于理解而已)

  • 秩:

    满秩===》线性无关

    不满秩===》线性相关

  • 行列式:

    由秩可以提出来:

    • |A|=0,线性相关
    • |A|!=0,线性无关

重要结论:

  • n+1个n维向量必线性相关

  • 线性相关本来是两个或多个向量之间关系的概念,但如果只有一个向量,非要说线性无关的概念,那么有一个0向量线性相关,一个非0向量线性无关。(一般不这么说)

  • 一组向量新加向量,其相关可能性变大;一组向量新加元素,其无关可能性变大。

  • 等价的向量组有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价

一个关系:两向量正交一定线性无关,而线性无关未必正交。

3.线性表示问题

可以理解到后面的线性向量组解的问题

  • 唯一表示:r(A)=r(A|b)=n
  • 多种表示:r(A)=r(A|b)<n
  • 不能表示:r(A)<r(A|b)

4.极大线性无关组

秩主元所在的向量构成一个极大线性无关组

四.线性方程组

1.齐次线性方程组

首先,理解一下概念:

  • 方程组的一般形式和向量形式

  • 方程组的解(有解或无解能有什么关系)

  • 基础解系与通解

    基础解系是一个代表,而通解包含所有的基础解系

  • 基础解系向量个数

    基础解系的向量个数+r(A)=n(未知量的个数)

    这里n在一般形式中就是x的个数,在向量形式中一般就是列数

2.非齐次线性方程组

有解的条件:

  • 有唯一解
  • 有无穷解
  • 无解

对应第三部分的线性表示问题

解的性质:

  • 齐次的解+非齐次的解仍是非齐解
  • 非齐次的通解结构为对应的齐次通解+非齐次方程的一个特解
  • 求特解时,选择自由变量全取0,可以得到对应的一个特解

这里面的核心问题就是这两个对应的知识点,一个是解的存在条件,一个是求通解。

五.特征值、特征向量、相似矩阵

1.特征值与特征向量

  • n阶矩阵也就是(方阵)才有特征值
  • 特征向量不为0

步骤:

  • 1.求特征值

    快速方法都是行与列的结合,如果只单纯行变化,会感觉计算非常复杂

  • 2.根据特征值求对应的特征向量

    总爱忘了,它是根据对应 特征值的齐次方程组求解特征向量

2.相似矩阵

相似矩阵的性质:

  • 1.自身性:A~A
  • 2.对称性:A~B ====> B~A
  • 3.传递性

3.正交矩阵

  • 定义:A*AT =AT *A=E

  • A是正交矩阵,其行列式的值为1或-1。

  • A是正交矩阵,其逆矩阵、伴随矩阵也是正交矩阵

  • 若A、B都是正交矩阵,则AB和BA也都是正交矩阵

4.实对称阵

  • 都是实数
  • 对称矩阵

跟普通方阵相比,普通方程的特征值可能是复数,而实对称阵的特征值一定是实数。

对比点 普通方阵 实对称阵
特征值 可能复数 一定实数
不同特征值对应的特征向量 线性无关 线性无关+相互正交
相似对角化 不一定 一定
正交相似对角化 不能

正交相似对角化:相似对角化矩阵是正交矩阵

六.二次型

1.二次型的标准化(配方法)

  • 1.令x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3,化简(若含有平方项可跳过)
  • 2.配x1
  • 3.配x2
  • 4.配x3
  • 5.描述可逆线性变换和最后的二次型标准型

2.二次型的标准化(正交变换法)

  • 1.写出二次型的矩阵形式
  • 2.求出矩阵的特征值
  • 3.求出对应特征值的特征向量
  • 4.正交化、单位化
  • 5.写出最后的可逆线性变化

3.惯性定理与矩阵合同

可逆线性变换不改变二次型的正负惯性指数

A可逆线性变换得到B,则AB合同

2021年真题笔记

在这里插入图片描述
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  • 选3:泰勒展开式
  • 选4:0到1上积分的极限表达式
  • 选7:分块矩阵秩的理解
  • 填3:积分的奇偶性、对称性
  • 填4:欧拉方程(冷门)
  • 填5:抽象行列式计算问题

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