AI——有信息（启发式）的搜索策略

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有信息（启发式）的搜索策略

性能评估：

• 完备性
• 最有效
• 复杂性

盲目搜索：
（上节课讲的都是盲目搜索）

缺点：不知道哪个节点离目标最近。
需要一个启发式函数来评估远近。

启发式函数：
$h(n)$= 结点n到目标节点的最小代价路径的代价估计值。

要注意的是 $h(n)$以结点为输入，但它与 $g(n)$不同，它只依赖于结点状态。

路径花费函数：path cost
$g(n) =$ 结点到n的花费

评价函数 $f(n)$:
评价函数被看做是代价估计。

若n 是目标节点，则 $h(n)=0$.

1 贪婪最佳优先搜索

$f(n) = h(n)$ ，也分为图搜索和树搜索

Bucharest问题

$h(n)$ = 直线距离

为什么叫做“贪婪的”，因为它的每一步都在试图找到离目标最近的结点。

性能分析

完备性

树搜索：（GBFS tree）
可能会进入死循环，出不来。
在有限空间内和无限空间：不完备

图搜索：（GBFS graph）
不会进入死循环。
有限空间：完备； 无限空间：不完备。

贪婪最佳优先搜索与深度优先搜索类似，即使是有限状态空间，它也是不完备的。

最优性

不能保证最优性

时间和空间复杂度

算法的时间复杂度和空间复杂度都是 $O(b^m)$，其中m是搜索空间的最大深度。

?如果想要启发式函数找到最优解，那就一定要把路径代价考虑进去。

2 A*搜索：缩小总评估代价

A*搜索对结点的评估结合了 $g(n)$，即到达此结点已经花费的代价，和 $h(n)$，从该节点到目标节点所花代价：
$f(n)= g(n)+h(n)$
$g(n)$是从开始结点到结点n 的路径代价。
$h(n)$是从结点n到目标结点的最小代价路径的估计值
因此：
$f(n)= 经过节点n的最小代价解的估计代价$

假设启发式函数 $h(n)$满足特定的条件，A搜索既是完备的也是最优的。算法与一致代价搜索类似，除了A使用g+h 而是g。

如果在新展开的结点中，存在已经在frontier中的结点，则比较两个节点，选择 $f(n)$最小的那个。

A*算法的最优性

由于启发函数的设计不当导致找不到最优解。
解决方法：估计值 小于实际的代价值。

如果 $h(n)$是可采纳的，那么A的树搜索版本是最优的。
如果 $h(n)$ 是一致的，那么图搜索的A算法是最优的。

一致启发式函数 → 可采纳启发式函数
$h(n) <= c(n,n')+h(n')$ → $h(n) <=h^(*)(n)$

如果 $C^*$是最优解路径的代价值，可以得到:

• A*算法扩展所有 $f(n)<C^*$的结点。
• A*算法在扩展目标结点钱可能会扩展一些正好处于“目标等值线”（ $f(n)=C^*$）上。

完备性要求代价小于等于C的结点是有穷的，前提条件是每步代价都超过e并且b是有穷的。
A算法对于任何给定的一致的启发式函数都是效率最优的。

如果算法不扩展所有 $f(n)<C^*$的结点，那么就很有可能会漏掉最优解。

$h^*$是从根节点到目标结点的实际代价，相对误差定义为 $\varepsilon = (h^*-h)/h^*$，绝对误差定义为 $\Delta = h^* - h$。

h2 比h1占优势（h1 和h2都小于h*，但是h2>h1）

如何获得可采纳的启发式函数？

6 启发式函数

如果想用A*算法找到最短路径解，叫我们需要一个绝不会高估到达目标的步数的启发式函数。
常用的两个启发式函数：

• h1 = 不在位的棋子数。
• h2 = 所有旗子到其目标位置的距离和。

h1是一个可采纳的启发式函数。
计算距离是指水平和竖直的距离和。这有时被称为市街区距离或曼哈顿距离。
h2 也是可采纳的。

松弛问题

减少了行动限制的问题称为 松弛问题。
减少限制导致了图中边的增加。

由于松弛问题增加了状态空间的边，原有问题总的任一最优解同样是松弛问题的最优；
但是松弛问题可能存在更好的解，理由是增加的边可能导致捷径。

所以一个松弛问题的最优解代价是原问题的可采纳的启发式。

定义新的启发式从而从中得到最好的：
$h(n) = \max \left\{ h_1(n), ..., h_m(n)\right\}$

子问题

**模式数据库（pattern databases）**的思想：
对每个可能的子问题实例存储解代价。

数据库本身的构造是通过从目标状态向后 搜索并记录下每个遇到的新模式的代价完成的；
搜索的开销分摊到许多的子问题实例上。

两个子问题的代价之和仍然是求解整个问题的代价的下届。
这就是不想交的模式数据库的思想。