启发式搜索

启发式搜索

1. 相关概念

• 在宽度优先和深度优先搜索里面，我们都是根据搜索的顺序依次进行搜索，可以称为盲目搜索，搜索效率非常低。
• 而启发式搜索则大大提高了搜索效率，由这两张图可以看出它们的差别：

• 什么是启发式搜索（heuristic search）

  • 用当前与问题有关的信息作为启发式信息，这些信息是能够提升查找效率以及减少查找次数的。
  • 我们定义了一个估价函数 h(x) 。h(x)是对当前状态x的一个估计，表示 x状态到目标状态的距离。
    1. h(x) >= 0 ；
    2. h(x)越小表示 x 越接近目标状态；
    3. 如果 h(x) ==0 ，说明达到目标状态。
  • 有了启发式信息还不行，还需要起始状态到 x 状态所花的代价，我们称为 g(x) 。
    • g(x)就是我们实际要求解的问题。
    • 比如在走迷宫问题、八数码问题，我们的 g(x) 就是从起点到 x 位置花的步数 ，h(x) 就是与目标状态的曼哈顿距离或者相差的数目；在最短路径中，我们的 g(x) 就是起点到 x 点的最短距离，h(x) 就是 x 点到目标结点的最短路或直线距离。
  • 令F(x)=g(x)+h(x)，作为我们的搜索依据。
    • 当 F(x) = g(x) 的时候就是一个等代价搜索，完全是按照花了多少代价去搜索。比如 bfs，我们每次都是从离得近的层开始搜索，一层一层搜 ；以及dijkstra算法，也是依据每条边的代价开始选择搜索方向。
    • 当F(x) = h(x) 的时候就相当于一个贪婪优先搜索。每次都是向最靠近目标的状态靠近。
  • 人们发现，等代价搜索虽然具有完备性，能找到最优解，但是效率太低。贪婪优先搜索不具有完备性，不一定能找到解，最坏的情况下类似于dfs。
  • 这时候，有人提出了A算法。令F(x) = g(x) + h(x) 。（这里的 h(x) 没有限制）。虽然提高了算法效率，但是不能保证找到最优解，不适合的 h(x)定义会导致算法找不到解。不具有完备性和最优性。
  • 几年后有人提出了 A*算法。该算法仅仅对A算法进行了小小的修改。并证明了当估价函数满足一定条件，算法一定能找到最优解。估价函数满足一定条件的算法称为A*算法。
  • 它的限制条件是 F(x) = g(x) + h(x) 。 代价函数g(x) >0 ；h(x) 的值不大于x到目标的实际代价 h*(x) 。即定义的 h(x) 是可纳的，是乐观的。

• 怎么理解第二个条件呢？

  • 打个比方：你要从x走到目的地，那么 h(x) 就是你感觉或者目测大概要走的距离，h*(x) 则是你到达目的地后，发现你实际走了的距离。你预想的距离一定是比实际距离短，或者刚好等于实际距离的值。这样我们称你的 h(x) 是可纳的，是乐观的。
  • 不同的估价函数对算法的效率可能产生极大的影响。尤其是 h(x) 的选定，比如在接下来的八数码问题中，我们选择了曼哈顿距离之和作为 h(x) ，你也可以选择相差的格子作为 h(x)，只不过搜索的次数会不同。当 h(x) 越接近 h*(x) ，那么扩展的结点越少！

2. A*算法流程

1. 将初始节点放入到open列表中。
2. 判断open列表。如果为空，则搜索失败。如果open列表中存在目标节点，则搜索成功。
3. 从open列表中取出F值最小的节点作为当前节点，并将其加入到close列表中。
4. 计算当前节点的相邻的所有可到达节点，生成一组子节点。对于每一个子节点：
   • 如果该节点在close列表中，则丢弃它
   • 如果该节点在open列表中，则检查其通过当前节点计算得到的F值是否更小，如果更小则更新其F值，并将其父节点设置为当前节点。
   • 如果该节点不在open列表中，则将其加入到open列表，并计算F值，设置其父节点为当前节点。
5. 转到2步骤。

3. 图示过程

1. 方格左下角为G(x)为起点到x的步数，右下角为H(x)为x到终点的预估值，这里选的是曼哈顿距离，右上角为F(x)=G(x)+H(x)估价函数。绿色点为起点，黑点为墙，红点为终点。起点相邻四个点进open表，并计算出F值。

   

2. 继续选择open列表中F值最小的节点，此时最小节点有两个，都为4。这种情况下选取哪一个都是一样的，不会影响搜索算法的效率。因为启发式相同。这个例子中按照右下左上的顺序选取。先选择绿色节点右边的节点为当前节点，并将其加入close列表。其相邻4个节点中，有1个是黑色节点不可达，绿色节点已经被加入close列表，还剩下上下两个相邻节点，分别计算其F值，并设置他们的父节点为黄色节点。

   

3. 此时open列表中F值最小为4，继续选取下方节点，计算其相邻节点。其右侧是黑色节点，上方1号节点在close列表。下方节点是新扩展的。主要来看下左侧节点，它已经在open列表中了。根据算法我们要重新计算它的F值，按经过2号节点计算G(n) = 3，H(n)不变，所以F(n) = 6相比于原值反而变大了，所以什么也不做。（后面的步骤中重新计算F值都不会更小，不再赘述）

   

4. 此时open列表中F值最小仍为4，继续选取

   

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5. 此时open列表中F值最小为6，优先选取下方节点。

   

6. 此时open列表中F值最小为6，优先选取右方节点

   

7. 此时open列表中F值最小为6，优先选取右方节点

   

8. 此时open列表中F值最小为6，优先选取右方节点。

   

9. 此时我们发现红色节点已经被添加到open列表中，算法结束。从红色节点开始逆推，其父节点为7号，7号父节点为6号，6号父节点为5号，5号父节点为2号（注意这里5号的父节点是2号，因为5号是被2号加入到open列表中的，且一直未被更新），2号父节点为1号，最终得到检索路径为：绿色-1-2-5-6-7-红色。

   

• Code

  #include <bits/stdc++.h>
  const int maxn=100+5;
  struct Node{
      int x,y,fx;
      Node(){}
      Node(int a,int b,int c){x=a;y=b;fx=c;}
      bool operator <(const Node &a)const{
          return fx>a.fx;
      }
  };
  int dx[]={0,-1,0,1},
      dy[]={-1,0,1,0};
  int a[maxn][maxn],f[maxn],g[maxn][maxn],vis[maxn][maxn];
  int n,m,k,sx,sy,ex,ey;
  int h(int x,int y){//估价函数,曼哈顿距离
      return abs(x-ex)+abs(y-ey);
  }
  void Astar(){
      memset(g,0x3f,sizeof(g));
      g[sx][sy]=0;//g函数，起点到当前点的步数也是曼哈顿距离
      std::priority_queue<Node> q;
      q.push(Node(sx,sy,0));
      while(!q.empty()){
          Node t=q.top();q.pop();vis[t.x][t.y]=1;//堆顶进入closed列表
          for(int i=0;i<4;++i){
              int x=t.x+dx[i],y=t.y+dy[i];
              if(x<1 || y<1 || x>m || y>n || vis[x][y] || a[x][y])continue;
              if(g[x][y]>g[t.x][t.y]+1)//(x,y)到起点的曼哈顿距离变小，可以重复进堆
                  g[x][y]=g[t.x][t.y]+1;
              else continue;//否则(x,y)到起点的距离比当前小且已经在堆，不需要处理
              if(x==ex && y==ey){
                  printf("%d\n",g[x][y]);return;
              }
              q.push(Node(x,y,g[x][y]+h(x,y)));
          }
      }
  }
  void Solve(){
      scanf("%d%d%d",&m,&n,&k);
      scanf("%d%d%d%d",&sx,&sy,&ex,&ey);
      for(int i=1;i<=k;++i){
          int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
          a[x][y]=1;
      }
      Astar();
  }
  int main(){
      Solve();
      Astar();
      return 0;
  }