一、什么是最长公共子序列
什么是最长公共子序列呢？举个简单的例子吧，一个数列S，若分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。
举例如下，如：有两个随机数列，1 2 3 4 5 6 和 3 4 5 8 9，则它们的最长公共子序列便是：3 4 5。
一直不明白：最长公共子串和最长公共子序列的区别。
上网查了下，最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。
二、蛮力法
蛮力法是解决最长公共子序列问题最容易想到的方法，即对S的每一个子序列，检查是否为T的子序列，从而确定它是否为S和T的公共子序列，并且选出最长的公共子序列。
S和T的所有子序列都检查过后即可求出S和T的最长公共子序列。S的一个子序列相应于下标序列1,2，...，n的一个子序列。因此，S共有2^n个子序列。当然，T也有2^m个子序列。
因此，蛮力法的时间复杂度为O(2^n * 2^m)，这可是指数级别的啊。
三、动态规划方法
1、序列str1和序列str2
·长度分别为m和n；
·创建1个二维数组L[m.n]；
·初始化L数组内容为0
·m和n分别从0开始，m++，n++循环：
- 如果str1[m] == str2[n]，则L[m,n] = L[m - 1, n -1] + 1；
- 如果str1[m] != str2[n]，则L[m,n] = max{L[m,n - 1]，L[m - 1, n]}
·最后从L[m,n]中的数字一定是最大的，且这个数字就是最长公共子序列的长度
·从数组L中找出一个最长的公共子序列
2、从数组L中查找一个最长的公共子序列
i和j分别从m，n开始，递减循环直到i = 0，j = 0。其中，m和n分别为两个串的长度。
·如果str1[i] == str2[j]，则将str[i]字符插入到子序列内，i--，j--；
·如果str1[i] != str[j]，则比较L[i,j-1]与L[i-1,j]，L[i,j-1]大，则j--，否则i--；（如果相等，则任选一个）
图1 效果演示图
根据上图，我们可以得到其中公共子串：B C B A 和 B D A B。
总感觉，上面这个过程说的不是很清楚，但是不知道怎么才能更加清楚的表述？？纠结啊。
四、代码实现
- //代码实现比较简单，有可能不符合规矩，如有哪位前辈看到后，可以指出，我会虚心学习。
- 1 #include <iostream>
- 2 #include <string>
- 3 using namespace std;
- 4 int main(int argc, char **argv)
- 5 {
- 6 string str1 = "ABCBDAB";
- 7 string str2 = "BDCABA";
- 8
- 9 int x_len = str1.length();
- 10 int y_len = str2.length();
- 11
- 12 int arr[50][50] = {{0,0}};
- 13
- 14 int i = 0;
- 15 int j = 0;
- 16
- 17 for(i = 1; i <= x_len; i++)
- 18 {
- 19 for(j = 1; j <= y_len; j++)
- 20 {
- 21 if(str1[i - 1] == str2[j - 1])
- 22 {
- 23 arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + 1;
- 24 }
- 25 else
- 26 {
- 27
- 28 if(arr[i][j - 1] >= arr[i - 1][j])
- 29 {
- 30 arr[i][j] = arr[i][j - 1];
- 31 }
- 32 else
- 33 {
- 34 arr[i][j] = arr[i -1][j];
- 35 }
- 36 }
- 37
- 38 }
- 39 }
- 41 for(i = 0 ; i <= x_len; i++)
- 42 {
- 43 for( j = 0; j <= y_len; j++)
- 44 {
- 45 cout << arr[i][j] << " ";
- 46 }
- 47 cout << endl;
- 48 }
- 49 for(i = x_len, j = y_len; i >= 1 && j >= 1;)
- 50 {
- 51 if(str1[i - 1] == str2[j - 1])
- 52 {
- 53 cout << str1[i - 1] << " ";//倒序打印的
- 54 i--;
- 55 j--;
- 56 }
- 57 else
- 58 {
- 59 // if(arr[i][j -1] >= arr[i - 1][j])//打印：B A D B
- 60 if(arr[i][j -1] > arr[i - 1][j]) //打印:A B C B
- 61 {
- 62 j--;
- 63 }
- 64 else
- 65 {
- 66 i--;
- 67 }
- 68 }
- 69 }
- 70 cout << endl;
- 71 return 0;
- 72 }
图2 运行效果
最后输出为A B C B，则最大子串为B C B A。
其实，应该将结果保存起来，然后，正序打印呢。